- Sea \(f: \mathbb R \to \mathbb R\) una función que cumple las siguientes propiedades: $$f(x+y) = f(x) \cdot f(y), \quad \forall x,y \in \mathbb R, \\ \lim_{x \to 0}\frac{f(x)-1}{x} = 1.$$ Demostrar que \(f(x)\) es derivable \(\forall x \in \mathbb R.\) Obtener una expresión explícita de la función \(f.\)
- Demostrar que para todo número natural \(n\) se verifica: $$\frac{1}{n+1} \lt \ln(n+1)-\ln(n) \lt \frac{1}{n}.$$ Nota: \(\ln\) significa logaritmo neperiano.
- Demostrar que para todo número natural \(n\) se verifica: $$\left ( 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n+1} \right )-1 \lt \ln(n+1) \lt 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}$$
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