Madrid 2015-P3

Sea \(f : \mathbb R \to \mathbb R\) una función derivable en \(\mathbb R,\) dos veces derivable en el origen y tal que \(f(0) = 0.\) Sea \(F : \mathbb R \to \mathbb R\) la función tal que: \[F(0) = f^\prime(0), \quad F (x) = \frac{1}{x} \int_0^x \frac{f(t)}{t} \D t \text{ para } x \ne 0\]

  1. Estudiar la derivabilidad de \(F.\)
  2. ¿Es \(F\) de clase \(\mathcal C^1\) en \(\mathbb R\)?

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