Dada la función \(f\) definida en \(\mathbb R\) y derivable en todo su campo de existencia, llamamos a la función \(g\), $$g(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{f(-x) -2f(0) + f(x)}{x^2}, &\text{si }x \ne 0 \\[0.5em] m, & \text{si }x=0 \end{cases}$$
a) \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos {0{,}75}\) Compruebe que si existe \(f^{\prime\prime}(0)\) y si \(m = f^{\prime\prime}(0)\), entonces, \(g\) es continua en \(\mathbb R\).
b) \(\puntos {1}\) Compruebe que si \(f\) es dos veces diferenciable en \(\mathbb R\) y si existe \(f^{\prime\prime\prime}(0),\) entonces, \(g\) es derivable en todo \(\mathbb R.\) Calcula \(g^{\,\prime}\).
c) \(\puntos {0{,}75}\) Calcule el siguiente límite aplicando la sección a) $$\lim_{n \to \infty} \frac{(n -1)^\alpha -2n^\alpha + (n + 1)^\alpha}{n^{\alpha -2}}, \quad \alpha \gt -1$$
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