Seguimos con transformaciones de la matriz identidad que replican la misma transformación sobre cualquier otra matriz. La trasposición de una matriz recoloca sus elementos de manera que la primera fila pasa a primera columna, la segunda fila, a segunda columna, etc., conservando el orden de los elementos. La seudotrasposición colocará la primera fila como última columna, la segunda fila como penúltima columna, así hasta colocar la última fila como primera columna, invirtiendo el orden de los elementos. Deja fijos los elementos de la diagonal secundaria. \(\def\ttilde{\textit {$\widetilde T$}} \def\strasp#1{{\bf #1}^\ttilde}\def\uparrowinbox#1{\bbox[#1,5px]\uparrow}
\def\rarrowinbox#1{\bbox[#1,5px]\rightarrow}\)$$\begin{array}{cc}\begin{pmatrix} · & · & · \\[2ex] \rarrowinbox {Pink} & \rarrowinbox {Pink} & \rarrowinbox {Pink}\\[2ex] · & · & · \\[2ex] \rarrowinbox {Cyan} & \rarrowinbox {Cyan} & \rarrowinbox {Cyan}\end{pmatrix}, &
\begin{pmatrix} \;\;\;\uparrowinbox {Cyan}\;\;\; & · & \uparrowinbox {Pink} & \;\;\;· \;\;\;\\[1.1ex] \uparrowinbox {Cyan} & · & \uparrowinbox {Pink} & · \\[1.1ex] \uparrowinbox {Cyan} & · & \uparrowinbox {Pink} & · \end{pmatrix} \\[2.5ex] 4 \times 3 & 3 \times 4 \end{array}$$
A la matriz seudotraspuesta de \(\bf A\) la denotaremos por \(\strasp {A}\). Hay un producto de matrices que lleva a cabo esta suedotrasposición. Veamos cuál es. \(\def\specI{ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}} \def\straspdef#1#2#3{{\bf U_#1} {\bf #3}^T{\bf U_#2}}\def\matrixset#1#2{{\mathcal M}_{#1 \times #2}} \def\sqmatrix#1{{\mathcal M}_{#1}}\)
Consideremos la matriz cuadrada \({\bf U}\) que tiene unos en la diagonal secundaria y ceros en el resto. $${\bf U} = \specI$$ Es una versión especular de la matriz \(\bf I\). El mismo efecto se obtiene cuando la premultiplicamos a cualquier matriz \({\bf A}\).$$\begin{align}{\bf U} {\bf A} &= \specI \left ( \begin{array}{r} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right ) \\[1.2ex] &= \left ( \begin{array}{r} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right )\end{align}$$
Se ha reflejado \(\bf A\) verticalmente, igual que se obtiene \(\bf U\) a partir de la matriz identidad. Dado que \({\bf U} {\bf U} {\bf A} = {\bf A}\), se tiene que \({\bf U} {\bf U} = {\bf I}\), luego \({\bf U}\) es su propia inversa: \({\bf U}^{-1} = {\bf U}.\) El producto \({\bf A} {\bf U}\) refleja \(\bf A\) horizontalmente.
Comprueba que $$\straspdef {\,}{\,} A = \left ( \begin{array}{r} 9 & 6 & 3 \\ 8 & 5 & 2 \\ 7 & 4 & 1 \end{array}\right ) = \strasp {A}$$
Ésta es la matriz seudotraspuesta que buscábamos. Se han intercambiado en \({\bf A}\) los elementos en posiciones simétricas respecto de la diagonal secundaria: los elementos \(a_{i,j}\) y \(a_{4-j, 4-i}\) están en posiciones simétricas. ¿Cómo lo haremos para una matriz rectangular? Indicaremos, ahora, el orden de la matriz identidad \({\bf U}\) con un subíndice.
La matriz \(\strasp {A}\) seudotraspuesta de \({\bf A}\in\matrixset{m}{n}\) es la matriz obtenida con el producto \(\straspdef {n} {m} {A}\). Esta transformación tiene las mismas propiedades que la trasposición. $$\begin{align} \strasp {\left ( \strasp {A} \right )} &= {\bf A} \\ \left ( \strasp {A} \right )^T &= \strasp {\left ( {\bf A}^{\textit T} \right )} \\ \strasp {\left ( A+B \right )} &= \strasp {A} + \strasp {B} \\ \strasp {\left ( {\bf A} {\bf B} \right )} &= \strasp {B} \strasp {A} \\ \strasp {\left ( A^{-1} \right )} &= \left ( \strasp {A} \right )^{-1} \end{align} $$