Hay un tipo especial de «sumas con puntos» que tienen infinitos términos, llamadas series infinitas o simplemente series. Por ejemplo, la «serie armónica» $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{n}+\ldots$$ donde los puntos suspensivos finales indican que siguen sumándose términos indefinidamente. También suele indicarse, aislado, el término general que se utilizará en el sumatorio. Estas sumas se expresan con un sumatorio que tiene en el límite superior el símbolo \(\infty\) (infinito). Los infinitos términos son construidos, como se hace con todos los sumatorios, a partir del término general, así: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots$$
Es fácil comprobar, por ejemplo, que el número decimal periódico \(0{,}\overset\frown{12}\) se puede escribir como la serie $$\begin{align}0{,}{12}+&0{,}{0012}+0{,}{000012}+\ldots=\\ &=12\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^{2n}}\end{align}$$
Series sumables
Hay algunas series en las que cuantos más términos consideremos más cerca se encuentra la suma de un valor numérico, además, esa «cercanía» puede mejorarse en cualquier medida sumando más términos de la serie. A este valor se le llama suma de la serie y a la serie, serie convergente o sumable, como ocurre con la serie anterior $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^{2n}} = \frac{1}{99}$$ Otras series tienen una contrapartida geométrica (no es lo habitual) que ayuda a intuir su convergencia y su suma, como lo es la serie: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 2$$ Si, en la figura, tomamos el lado del cuadrado exterior como la unidad, la línea poligonal azul, que arranca del vértice \(A\), y bordea los infinitos cuadrados construidos, tiende a una longitud de \(2\) unidades.
Hay otras, como la serie armónica, en las que, a pesar de que los términos son cada vez más pequeños, la suma no se aproxima a ningún valor: se llaman series divergentes. También son divergentes las series cuyos términos crecen sin límite, como en \(\sum_{n=1}^{\infty} n\). Sin embargo, parece algo sorprendente que la serie siguiente, muy parecida a la serie armónica, sea sumable: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(-1\right)^n}{n+1} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots = \ln\left(2\right)$$ A las series como ésta, que tienen los términos alternativamente positivos y negativos, se les llama series alternadas.
Sumas parciales
Este es un concepto estrechamente relacionado con la convergencia de una serie porque en él nos apoyamos para definir su carácter sumable. Aquí vamos a utilizarlo para hallar con nuestra calculadora de bolsillo aproximaciones a la suma de los infinitos términos de la serie. Partimos de la serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\) y vamos a expresar sumas de términos de manera que en cada suma añadamos un término más de la serie. Así, $$\begin{array}{rll} S_1 = &a_1 &=a_1 \\ S_2 = &\left(a_1\right)+a_2 &= S_1 + a_2 \\ S_3 = &\left(a_1+a_2\right)+a_3 &= S_2+a_3 \\ \vdots\, &\, &\,\vdots \\ S_n = &\left(a_1+\ldots+a_{n-1}\right)+a_n &=S_{n-1}+a_n \\ \vdots\, &\,&\,\vdots \end{array}$$ La última fórmula \(S_n=S_{n-1}+a_n\) viene a decir que la suma de \(n\) términos de la serie se obtiene sumando a los \(n-1\) términos anteriores el término \(n{-}\acute e simo\). Y esto, que parece obvio, es lo que vamos a hacer, ir obteniendo las sucesivas sumas parciales. Cuando las sumas parciales tienden a un valor, \(S_n \xrightarrow{n \to \infty }S\), este valor \(S\)es la suma de la serie.
En nuestra calculadora podemos empezar por introducir el primer término \(a_1\) y pulsar la tecla \(\left[\,=\,\right]\). Hemos obtenido \(S_1\). Seguimos pulsando la tecla \(\left[\,+\,\right]\), el segundo término \(a_2\) y pulsamos, de nuevo, \(\left[\,=\,\right]\). En la pantalla obtenemos \(S_2\). Pulsamos \(\left[\,+\,\right]\) y el tercer término \(a_3\) y la tecla .\(\left[\,=\,\right]\). Obtenemos \(S_3\) y así, sucesivamente.
En general, la rutina $$\left[\,+\,\right] \text{ nuevo_término } \left[\,=\,\right]$$ irá produciendo sumas parciales en nuestra pantalla. Cuando la serie sea sumable, sus sumas parciales constituyen aproximaciones de la suma de la serie. Con estos cálculos no demostramos que la serie sea sumable, solo comprobamos que, cuando lo sea, las sumas van aproximándose más y más a un valor, el cual, por definición, es el valor del sumatorio infiinito. En unos casos, las sumas parciales irán mostrando los mismos decimales muy rápidamente (convergencia rápida), en otros, será necesario sumar muchos términos para ver alguna tendencia (convergencia lenta).
Probémoslo con la serie alternada anterior. Primero tengamos a la vista el valor de su suma: \(\ln\left( 2 \right) = 0{,}693147180559\ldots\). Veamos, ahora, cómo van progresando las sumas parciales:
| Teclado | Suma parcial |
| \(1\left[=\right]\) | \(S_{1}=1\) |
| \(\left[-\right] 2 \left[ x^{-1} \right]\left[=\right]\) | \(S_{2}=0{,}5\) |
| \(\left[+\right] 3 \left[ x^{-1} \right]\left[=\right]\) | \(S_{3}=0{,}83333\) |
| \(\left[-\right] 4 \left[ x^{-1} \right]\left[=\right]\) | \(S_{4}=0{,}58333\) |
| \(\left[+\right] 5 \left[ x^{-1} \right]\left[=\right]\) | \(S_{5}=0{,}78333\) |
| \(\left[-\right] 6 \left[ x^{-1} \right]\left[=\right]\) | \(S_{6}=0{,}61666\) |
| \(\left[+\right] 7 \left[ x^{-1} \right]\left[=\right]\) | \(S_{7}=0{,}75952\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(\left[-\right]50 \left[ x^{-1} \right]\left[=\right]\) | \(S_{50}=0{,}6832471606\) |
Si su calculadora no tiene la tecla \(\left[ x^{-1} \right]\) teclee el inverso completo \(\left[-\right] 1 \left[\div\right] 2 \left[=\right]\). Como podrá ver, esta serie es de convergencia lenta, pero persevere calculando una veintena de sumas desde \(S_{50}\).