I. Baleares. Menorca 2022-A-E2

Se considera \(\mathcal B = \{v_1, v_2, v_3 \}\) una base de \(\mathbb R^3\) y se considra la aplicación lineal \(f:\mathbb R^3 \to \mathbb R^3\) definida por: $$v_1-v_2 \in \text{Ker } f, \quad f(v_1+v_2)=v_3, \quad f(v_3)=v_1-v_2.$$

1. Escribe la matriz asociada a \(f\) en la base \(\mathcal B.\)
2. Encuentra bases de su núcleo y su imagen.
3. Clasifica el endomorfismo. ¿Es inyectivo, exhaustivo, …?
4. Prueba, sin hacer uso del cálculo matricial, que el endomorfismo \(f^3\) es idénticamente nulo, esto es \(f^3(w)=0\) para todo vector \(w.\)