I. Baleares. Menorca 2021-E2-P2

La duración de una bombilla (\(X\)) tiene una distribución de probabilidad con una función de densidad $$\def\E{\mathrm e}\def\D{\mathrm {d}}f(x) = \begin{cases} c \, \E^{-2x}, &\text{si } x \gt 0 \\ 0, &\text{si } x \le 0 \end{cases}$$ donde \(x\) está expresada en miles de horas y \(c\) es una constante positiva. Se pide:

1. Determinar el valor de la constante \(c\).
2. Calcular \(E(X)\) y \(V(X)\).
3. Determinar la función de distribución de \(X\).
4. Calcular la probabilidad de que una bombilla, que ya ha durado \(400\) horas, dure \(200\) horas más.
5. Se encienden \(n\) bombillas de este tipo de manera simultánea para determinar su duración en funcionamiento. Se supone que las bombillas funcionan de manera independiente unas de otras y que su duración sigue la función de probabilidad anterior (es decir, son independientes e idénticamente distribuidas). Determina la función de densidad de la variable aleatoria \(Y\) que representa el tiempo de espera hasta que deja de funcionar la primera bombilla.