Sea \(f: [3,5] \rightarrow \mathbb R\) una función continua que es derivable en \((3,5)\) y tal que \(f(3)=6\) y \(f(5)=10\).
a) Considere la función \(g: [3,5]\rightarrow \mathbb R\) definida por \(g(x) = \displaystyle\frac{f(x)}{x}.\) Demuestre que existe \(x_0 \in (3,5)\) tal que \(g'(x_0)=0\).
b) Demuestre que entre todas las rectas tangentes a la gráfica de \(f,\) al menos una de ellas pasa por el origen de coordenadas.
c) Sea \([a,b]\) un intervalo que no contiene al \(0.\) Sea \(h:[a,b] \rightarrow \mathbb R\) una función continua que es derivable en \((a,b)\) y tal que \(\displaystyle \frac{h(a)}{a} = \frac{h(b)}{b}.\) Demuestre que existe \(x_0 \in (a,b)\) tal que la tangente a la gráfica de \(h\) en el punto \((x_0,h(x_0))\) pasa por \((0,0).\)
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