Ceuta 2021-P3

Sea $A$ un anillo tal que $x^2=x$ para todo $x\in A.$

1. Demostrar que: $x=-x,$ $\; \forall x \in A$
2. Demostrar que $A$ es conmutativo.
3. Demostrar que la relación $\def\R{\mathbin {\mathcal R}}$$\mathcal R$ definida en $A$ por: $x \R y \Leftrightarrow x \cdot y = x,$ es una relación de orden en $A.$
4. Demostrar que si $A$ es un dominio de integridad, entonces tiene a lo sumo dos elementos.