Ceuta 2016-P2

Se considera la aplicación \(\def\RRR{\mathbb R^3}\)\(f : \RRR \to \RRR\) definida por: \[f(x, y, z) = (x−4y, −y, 2y+z).\]

1. Demuestre que \(f\) es un endomorfismo del espacio \(\RRR\).
2. Determine la expresión matricial de \(f\) respecto de la base canónica de \(\RRR\).
3. Calcule el núcleo y la imagen de \(f.\)
4. Calcule los valores propios de \(f\) y los subespacios de vectores propios asociados.
5. Determine si la matriz \(A\) asociada a la aplicación lineal \(f\) en la base canónica es diagonalizable y, en caso afirmativo, calcule una matriz diagonal semejante a \(A\) y una matriz de paso correspondientes.
6. Calcule la matriz \(A^9.\)