Cantabria 2012-P3

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. Demuestre que si \(f \colon [0,1] \to \mathbb R\) es una función continua, entonces \(\require{AMSmath}\DeclareMathOperator{\sin}{sen}\)$$\int_0^\pi x \, f \big ( \sin(x) \big ) \D x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f \big ( \sin(x) \big ) \D x.$$
2. Calcule \(\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x-[x]}{2^{[x]}} \D x,\) donde \([x]\) es la parte entera del número real \(x,\) esto es, el mayor número entero no superior a \(x.\)