You dont have javascript enabled! Please enable it! Cantabria archivos - Cuadernos | El cartapacio

Cantabria 2012-P4

Sean \(X\) e \(Y\) dos variables aleatorias independientes y uniformemente distribuidas en los intervalos \((0,1)\) y \((5,9),\) respectivamente y que representan las longitudes de los lados de un rectángulo en el plano. Calcule el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria área del rectángulo.

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Cantabria 2012-P3

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

  1. Demuestre que si \(f \colon [0,1] \to \mathbb R\) es una función continua, entonces \(\require{AMSmath}\DeclareMathOperator{\sin}{sen}\)$$\int_0^\pi x \, f \big ( \sin(x) \big ) \D x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f \big ( \sin(x) \big ) \D x.$$
  2. Calcule \(\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x-[x]}{2^{[x]}} \D x,\) donde \([x]\) es la parte entera del número real \(x,\) esto es, el mayor número entero no superior a \(x.\)

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Cantabria 2012-P2

Se considera el endomorfismo \(f\) de \(\mathbb R^4\) cuya matriz asociada respecto de la base canónica de \(\mathbb R^4\) es la siguiente $$M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$

  1. Estudie si \(f\) es diagonalizable.
  2. En caso afirmativo, encuentre una base de \(\mathbb R^4\) respecto de la cual la matriz asociada a \(f\) sea diagonal.

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Cantabria 2021-E1-P1

a) Demostrar que el subconjunto de \(\mathbb R^4\) formado por todas las cuaternas \((x, y, z, t)\) que satisfacen las relaciones $$x + y + z + t = 0 \\ x -y + z -t = 0$$ forman un subespacio vectorial de  \((\mathbb R^4, +, ·_{\mathbb R})\). (10 puntos)
b) Probar que el sistema formado por los vectores \(\vec{u_1}\)  y \(\vec{u_2}\) forman una base para dicho espacio, siendo \(\vec{u_1} = (2, 1, -2, -1)\) y \(\vec{u_2} = (1, 0, -1, 0).\) (10 puntos)
c) Hallar las coordenadas del vector \(\vec{u} = (4, 1, -4, -1)\) respecto de dicha base \(\vec{u_1}, \vec{u_2}\). (5 puntos)

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Cantabria 2021-E1-P2

Calcular, aplicando el teorema del valor medio, los siguientes límites:
a) \(\require{AMSmath}\DeclareMathOperator{\arctan}{arctg}\DeclareMathOperator{\tan}{tg}\DeclareMathOperator{\sin}{sen}\)\(\lim\limits_{x\to 0} \displaystyle\frac{\tan(a+x) -\tan(a -x)}{\arctan(a + x) -\arctan(a -x)}\) (15 puntos)
b) \(\lim\limits_{x\to 0} \displaystyle\frac{e^{\sin(a + x)} -e^{\sin a}}{\sin(a + x) -\sin a}\) (10 puntos)

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Cantabria 2021-E1-P3

En la pantalla de un simulador de vuelo, que incluye un sistema de coordenadas \(3D\) y en el que la Tierra se representa con el plano \(z = 0,\) se observa que un  meteorito de pequeñas dimensiones se dirige hacia la Tierra. La trayectoria que describe el meteorito coincide con la recta:
$$r: (x, y, z) = (5, -10, 14) + t (-3, 14, -6), \quad t \in \mathbb R$$
a) ¿En qué punto tocará el suelo terrestre el meteorito? (15 puntos)
b) Si el plano \(\pi : -4x + 5y =12\) se ha fijado como separación entre las fronteras de España y Francia, ¿atravesará el meteorito la frontera? (10 puntos)

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Cantabria 2021-E2-P1

Sea \(f : \mathbb R^3 \longrightarrow \mathbb R^3\) un endomorfismo, tal que: $$\eqalign { f(\vec{u_1}) &= \hphantom{-3}\vec{u_1} + 2 \vec{u_2} -\vec{u_3} \\ f(\vec{u_2}) &= -3\vec{u_1} -\vec{u_2} +5\vec{u_3} \\  f(\vec{u_3}) &= -2\vec{u_1} + \vec{u_2} + 2\vec{u_3} }$$ donde \(\mathcal B = \{\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3} \}\) es una base del espacio vectorial \((\mathbb R^3, +, ·_{\mathbb R}).\) Hallar la matriz de la aplicación lineal \(f\) respecto de la base \(\mathcal B_1 = \{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}\) en la que las imágenes de los vectores \(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\) se expresan en las columnas de la matriz, donde $$\eqalign { \vec{v_1} &= \vec{u_2} + \vec{u_3} \\ \vec{v_2} &= \vec{u_1} + \vec{u_3} \\ \vec{v_3} &= \vec{u_1} + \vec{u_2}. }$$ (25 puntos)

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Cantabria 2021-E2-P2

Una confitería de Santander es famosa por sus dos especialidades de tartas: la tarta de chocolate y la tarta de limón. La tarta de chocolate requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y \(8\) huevos y tiene un precio de venta de \(8~€\). La tarta de limón necesita \(1\) kilo de azúcar y \(8\) huevos y se vende a \(10~€\) la unidad. En el almacén de la confitería quedaban \(10\) kilos de azúcar y \(120\) huevos. ¿Cuántas unidades de cada especialidad de tarta han de producirse para obtener el mayor ingreso por ventas? (25 puntos)

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