Asturias 2016-P4

De un depósito que contiene un fluido viscoso se desprenden gotas que supondremos esféricas. El radio de una gota es una variable \(X\) medida en milímetros de tamaño mínimo \(\rho\), siendo \(\rho \gt 1,\) cuya probabilidad de desprenderse es inversamente proporcional a su volumen.

1. Calcule \(\rho\) sabiendo que la esperanza de \(X\) supera en \(1\) a su mediana.
2. Si se desprenden cinco gotas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres de ellas superen el doble del tamaño mínimo?
3. Si el número de gotas que se desprenden por minuto sigue una distribución de Poisson de parámetro \(\lambda,\) calcule su esperanza, sabiendo que la probabilidad de que caigan cinco gotas en un minuto es la mitad de la probabilidad de que caigan cinco gotas en dos minutos.