Las gráficas de las curvas \(y=\cos x,\) e \(\require{AMSmath} \DeclareMathOperator{\tan}{tg} \DeclareMathOperator{\arcsin}{arcsen} \DeclareMathOperator{\sin}{sen}\)\(y=\tan x\) ocultan un compañero inesperado. Sea el punto \(A\) común a la rama principal de la curva \(y=\tan x\) y a la curva \(y=\cos x.\) Los segmentos de tangente trazadas por \(A\) a ambas curvas están en razón áurea.
Demostración
Localicemos el punto \(A\) resolviendo el sistema \[\cases {y=\cos x \\ y=\tan x} \Leftrightarrow \cases{\cos^2 x = \sin x \\ y=\cos x} \tag{1}\label{eq1}\] De la que obtenemos la ecuación cuadrática \[\sin^2 x+\sin x-1=0\] que tiene por soluciones \[\sin x = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}=-\varphi, \quad \sin x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}= \frac{1}{\varphi}.\] Tomaremos la solución positiva; es la única compatible con \(\eqref{eq1}\) y nos da un punto \(A(x_A,y_A)\) del primer cuadrante del plano. \[\cos^2 x_A= \sin x_A = 1/\varphi \Rightarrow \cos x_A = 1/\sqrt{\varphi}\] \[x_A = \arccos (1/\sqrt{\varphi}), \quad y_A = 1/\sqrt{\varphi} \]
La situación es interesante dado que las rectas tangentes a ambas curvas en el punto \(A\) resultan ser perpendiculares. La recta \(AC\) es tangente en \(A\) a la curva \(y=\cos x\) y tiene por pendiente \(m_{AC}=-\sin x_A=-1/\varphi;\) y la recta \(AB,\) tangente en \(A\) a la curva \(y=\tan x\) tiene por pendiente \(m_{AB}=1/\cos^2(x_A)=\varphi.\) El producto de estas pendientes es \(-1,\) luego, se trata de rectas perpendiculares entre sí. El rectángulo \(ABDC\) que tiene por lados los segmentos de tangente es áureo. Veámoslo.
Ambas rectas tangentes responden a la ecuación \[y-y_A=m(x-x_A)\] con sus pendientes respectivas \(m_{AB}=\varphi\) y \(m_{AC}=-1/\varphi.\) Los puntos \(B\) y \(C\) se hallan sobre estas tangentes, luego, satisfacen sus respectivas ecuaciones, \[x_B-x_A=-y_A/m_{AB}, \quad x_C-x_A=-y_A/m_{AC} \\
\eqalign { \lon{AC}^2 &= (x_C-x_A)^2+y_A^2 = (y_A/m_{AC})^2+y_A^2=(1+1/{m_{AC}}^2)\,y_A^2 \\ \lon{AB}^2 &= (x_B-x_A)^2+y_A^2 = (y_A/m_{AB})^2+y_A^2=(1+1/{m_{AB}}^2)\,y_A^2} \]
\[ \frac{\lon{AC}^2}{\lon{AB}^2} = \frac{(1+{m_{AC}}^2) \,{m_{AB}}^2}{(1+{m_{AB}}^2)\,{m_{AC}}^2} = \frac{{m_{AB}}^2+1}{{m_{AC}}^2+1} = \varphi^2.\] Luego, la razón de los segmentos de tangente es el número áureo \[\frac{\lon{AC}}{\lon{AB}} = \varphi.\]