Galería de sumatorios
En Estadística descriptiva es habitual utilizar sumas con puntos, que pueden expresarse mediante sumatorios. Para \(N\) observaciones \(x_1, \,x_2, \dots, \,x_N\) podemos expresar su media aritmética $$ \overline x = \frac {x_1 + x_2 + \dots + x_N} {N} = \frac {1} {N} \sum_{i=1}^{N} x_i $$ y su varianza $$s^2 = \frac {1} {N} \sum_{i=1}^{N} \left ( x_i – \overline x \right )^2 = \frac {1} {N} \sum_{i=1}^{N} {x_i}^2 – {\overline x}^2$$ Si agrupamos las observaciones, obtenemos \(k\) observaciones distintas \(x_1, \, x_2, \dots, \, x_k\) cuyas frecuencias absolutas son \(n_1, \,n_2, \dots, \,n_k\), de forma que \(N=\sum_{i=1}^{i=k} n_i\). La media y varianza se expresan como $$ \begin{aligned} \overline x &= \frac {n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + \dots + n_k \cdot x_k} {N} \\[1.2ex] &= \frac {1} {N} \sum_{i=1}^{k} \left ( n_i \cdot x_i \right ) \\[1.2ex] &= \sum_{i=1}^{k} \left ( \frac {n_i} {N} \cdot x_i \right ) = \sum_{i=1}^{k} \left ( {f_i} \cdot x_i \right )\end{aligned}$$
$$s^2 = \frac {1} {N} \sum_{i=1}^{k} \left ( n_i \left ( x_i – \overline x \right )^2 \right ) = \sum_{i=1}^{k} \left ( f_i \cdot {x_i}^2 \right ) – {\overline x}^2$$ donde \(f_i = n_i/N\) es la frecuencia relativa de la observación \(x_i\) y cumple \(\sum_{i=1}^{k} f_i = 1\).
La media aritmética ponderada de \(k\) valores \(x_1, \, x_2, \dots, \, x_k\) cuyos pesos son \(w_1, \, w_2, \dots, \, w_k\) es $$\begin{aligned}\overline x &= \frac {w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_k x_k} {w_1 + w_2 + \ldots + w_k} \\[1.2ex] &=\frac {\sum_{i=1}^{k} w_i x_i} {\sum_{i=1}^{k} w_i} =\frac {1} {w} \sum_{i=1}^{k} w_i x_i = \sum_{i=1}^{k} \frac {w_i} {w} x_i \\[1.2ex] &= \sum_{i=1}^{k} {p_i} x_i \end{aligned}$$ Los factores \(p_i, \; \small {(i=1, \dots , k)}\) se denominan «pesos normalizados», por ser positivos y de suma la unidad \(\sum_{i=1}^{k} {p_i} = 1\).
La distancia entre puntos del plano \(P\equiv\left(x_1,x_2\right)\) y \(Q\equiv\left(x_1^{\prime},x_2^{\prime}\right)\): $$d\left( P, Q \right)^2 = {\sum_{k=1}^{2} {\left( x_k-x_k^{\prime} \right) }^2}$$
La distancia de un punto \(P\equiv\left(x_1,x_2,x_3\right)\) del espacio al origen $$d\left( O, P \right)^2 = {x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2={\sum_{k=1}^{3} { x_k}^2}$$
| Suma con puntos = Sumatorio | Cálculo |
| \(\small 1 + 2 + \dots + n=\sum\limits_{k=1}^{n} k\) | \(\small \frac {1} {2} {n \left( n+1 \right )}\) |
| \(\small 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 =\sum\limits_{k=1}^{n} k^2 \) | \(\small \frac {1} {6} {n \left( n+1 \right ) \left ( 2n+1 \right )}\) |
| \(\small 2 + 4 + \dots + \left ( 2n \right )= \sum\limits_{k=1}^{n} \left ( 2k \right )\) | \(\small {n \left( n+1 \right )}\) |
| \(\small 1 + 3 + 5 +\dots + \left ( 2n-1 \right )= \sum\limits_{k=1}^{n} \left ( 2k-1 \right )\) | \(\small n^2\) |
| \(\small \binom {m} {0}+\binom {m} {1} + \binom {m} {2} + \dots + \binom {m} {m}=\sum\limits_{k=0}^{m} \binom {m} {k}\) | \(\small 2^m\) |
| \(\small 1 + a + a^2 +\dots + a^n =\sum\limits_{k=0}^{n} a^k\) | \(\small \displaystyle\frac {1-a^{n+1}} {1-a}\) |
| \(\small 1 + 2 + 4 +8+\dots + 2^n =\sum\limits_{k=0}^{n} 2^k\) | \(\small {2^{n+1}-1}\) |
| \(\small 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}= \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) |
La columna Cálculo de esta tabla no está ahí para desanimarle. Esta introducción a la notación sigma no tenía este objetivo, solo se muestra a título informativo.