Algunas propiedades del sumatorio
Apoyándonos en las propiedades de la suma y producto de números se pueden enunciar las siguientes propiedades. En lo que sigue, \(C\) es una expresión que no contiene el índice \(k\), es decir, no variará cuando lo haga \(k\). Para mejorar la legibilidad, prescindiremos del índice \(k\) en el sumatorio: \(\sum\limits_{k=n}^{m} \equiv \sum\limits_{n}^{m}\).
• El sumatorio \(\sum\limits_{n}^{m} t_k = t_n + t_{n+1} + \dots + t_{m-1} + t_m\)
tiene \(m – n + 1\) términos.
• \(\sum\limits_{n}^{n} t_k = t_n\).
• \(\sum\limits_{n}^{m} C = (m-n+1) \cdot C \).
• \(\sum\limits_{n}^{m} (C \cdot t_k) = C \cdot \sum\limits_{k=n}^{m} t_k \).
• \(\sum\limits_{n}^{m} (t_k + s_k) = \sum\limits_{n}^{m} t_k + \sum\limits_{n}^{m} s_k \).
• Si \(n < p \le m \), entonces \(\sum\limits_{n}^{m} t_k = \sum\limits_{n}^{p-1} t_k + \sum\limits_{p}^{m} t_k\), en particular, si \(n=1\), tenemos \(\sum\limits_{1}^{m} t_k – \sum\limits_{1}^{p-1} t_k = \sum\limits_{p}^{m} t_k\).
• Si \(r\) es un entero cualquiera \(\sum\limits_{k=n}^{m} t_k = \sum\limits_{k=n-r}^{m-r} t_{k+r}\).
En particular, un sumatorio siempre se puede escribir con índice inferior igual a la unidad. Si hacemos \(r=n-1\) tenemos
\(\sum\limits_{k=n}^{m} t_k = \sum\limits_{k=1}^{m-n+1} t_{k+n-1}\)
aunque puede resultar un término general complicado, por lo que sería más recomendable usar la propiedad anterior.
Aplicación
Desarrollar y calcular el sumatorio \(\sum\limits_{1}^{10} (1+k)^2\).
Desarrollamos el cuadrado para utilizar las propiedades anteriores y la galería de sumatorios, $$\begin{align} \sum\limits_{1}^{10} (1+k)^2 &= \sum\limits_{1}^{10} (1+2k+k^2) \\ &= \sum\limits_{1}^{10} 1 + \sum\limits_{1}^{10} \left( 2 \cdot k \right) + \sum\limits_{1}^{10} k^2 \\ &= 10 + 2 \cdot \sum\limits_{1}^{10} k + \sum\limits_{1}^{10} k^2 \\ &= 10 + 2 \cdot \frac {10 \cdot 11} {2} + \frac {10 \cdot 11 \cdot 21} {6} \\ &= 505\end{align}$$
Otra forma rápida de cálculo consiste en observar que es posible cambiar la expresión del sumatorio, siempre que cambiemos los límites inferior y superior \(\sum\limits_{1}^{10} (1+k)^2 = \sum\limits_{2}^{11} k^2 = \sum\limits_{1}^{11} k^2 – \sum\limits_{1}^{1} k^2 = \frac {11 \cdot 12 \cdot 23}{6} – 1 = 505\)