En el anillo \(\def\matcomplex#1#2{\begin{pmatrix} #1 & #2 \\ -#2 & #1\end{pmatrix}}\def\matreal#1{\begin{pmatrix} #1 & 0 \\ 0 & #1\end{pmatrix}}(\mathcal M_2, +, \cdot)\) de matrices cuadradas con elementos del cuerpo \(\mathbb R\), con la suma y producto de matrices habituales, existen dos conjuntos que son subanillos de \({\mathcal M}_2\) interesantes. (Incluso son cuerpos.) El primero es el conjunto de matrices escalares $$\mathcal R = \left\lbrace\matreal k : k\in \mathbb R\right\rbrace.$$
El conjunto de números reales \((\mathbb R, +, \cdot)\) está inmerso en \((\mathcal M_2, +, \cdot)\) mediante la biyección $$h:\mathbb R \longrightarrow \mathcal R \\ k \longmapsto h(k)=\matreal k$$ que, además, conserva las operaciones \(h(k+k’)=h(k)+h(k’)\) y \(h(k\cdot k’)=h(k) \cdot h(k’),\) y es un isomorfismo de cuerpos. Esto permite identificar un número real y una matriz escalar $$k \leftrightarrow \matreal k$$
El segundo es el conjunto $$\mathcal C = \left\lbrace\matcomplex a b: a, b\in \mathbb R\right\rbrace.$$ que contiene a las matrices escalares \(\mathcal R\) y que también es subanillo de \(\mathcal M_2\) y, además, es cuerpo[1]. Las matrices $$\mathcal I = \matreal 1, \quad \mathcal J = \matcomplex 0 1$$ forman un sistema generador de \(\mathcal C,\)$$\matcomplex a b = a\matreal 1 + b\matcomplex 0 1 = a\mathcal I + b\mathcal J,$$ con la particularidad de que $$\mathcal J^2 +\mathcal I = 0.$$ El isomorfismo $$p:\mathbb C \longrightarrow \mathcal C \\ z=a+bi \longmapsto p(z)=\matcomplex a b,$$ traslada la estructura de cuerpo a \(\mathcal C\) con lo que \((\mathbb C, +, \cdot)\) puede considerarse sumergido en \((\mathcal M_2, +, \cdot)\) y permite identificar $$a+bi \leftrightarrow a \mathcal I + b \mathcal J .$$ Dado que existe la aplicación norma o módulo \(z \longmapsto |z|=a^2+b^2\), que es multiplicativa \(|z\cdot z’|=|z| |z’|,\) entonces \(z \text{ es invertible } \Leftrightarrow |z| \ne 0\). Esta norma se traslada a \(\mathcal C\) como el determinante de la matriz $$\left | \matrix{ a & b \\ -b & a} \right | = a^2 + b^2.$$ Los complejos invertibles en \(\mathbb C\) (todos excepto \(z=0\)) se corresponden con las matrices invertibles en \(\mathcal C\), es decir, $$1/z \longmapsto \frac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix},\quad \text{ si } a^2+b^2 \ne 0, $$ puesto que en el cuerpo \(\mathbb R\)[2] $$a^2+b^2 = 0 \Leftrightarrow a = 0 \wedge b = 0.$$
[1] Al margen del isomorfismo que se define más adelante, pueden demostrarse directamente las propiedades de la estructura de cuerpo. Ver una demostración en el blog de Fernando Revilla.
[2] Esto no ocurre en cualquier cuerpo. Por ejemplo, en el cuerpo \({\mathbb Z}_5,\) ocurre que \({\overline 1}^2 + {\overline 2}^2 = \overline 0.\) Incluso en \(\mathbb C\) tampoco ocurre, ya que \(i^2+1^2=0\) y ninguno de ellos es el cero.