Castilla-La Mancha 2021-P3

Un número natural \(n\) se dice perfecto cuando la suma de sus divisores propios es el propio \(n.\)

1. Demuestre que si \(2^k-1\) es primo, entonces \(2^{k-1}(2^k-1)\) es perfecto.
2. Demuestre que si \(n\) es perfecto y par, entonces existe \(k \in \mathbb N\) tal que \(n=2^{k-1}(2^k-1)\) con \(2^k-1\) primo.