You dont have javascript enabled! Please enable it! Castilla-La Mancha archivos - Cuadernos | El cartapacio

Castilla-La Mancha 2021-P1

Un segmento se divide en tres por dos puntos elegidos de forma aleatoria.

  1. Halle la probabilidad de que con los tres segmentos obtenidos se pueda construir un triángulo.
  2. Suponiendo que se pueda construir un triángulo, halle la probabilidad de que sea acutángulo.

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Castilla-La Mancha 2021-P2

Para cada \(\require{AMSmath}\DeclareMathOperator{\sin}{sen}\)\(n \in \mathbb N\) se define $$A_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \D x.$$

  1. Encuentre una fórmula para calcular \(A_n\) a partir de \(n.\)
  2. Calcule \(\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{A_n}{A_{n+1}}.\)

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Castilla-La Mancha 2021-P3

Un número natural \(n\) se dice perfecto cuando la suma de sus divisores propios es el propio \(n.\)

  1. Demuestre que si \(2^k-1\) es primo, entonces \(2^{k-1}(2^k-1)\) es perfecto.
  2. Demuestre que si \(n\) es perfecto y par, entonces existe \(k \in \mathbb N\) tal que \(n=2^{k-1}(2^k-1)\) con \(2^k-1\) primo.

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Castilla-La Mancha. Toledo 2000-P4

Se consideran las funciones \(f_n(x) = x^n (1 -x)^{1/2}\) con \(n \gt 0\) y sea \(A_n\) el área que encierra la gráfica de la función \(f_n\) y el eje \(OX.\) Probar que la suma de todas las \(A_n\) es convergente y calcular su valor.

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Castilla-La Mancha. Toledo 2000-P2

Se considera la circnferencia de radio \(R\) y centrada en el origen. Desde un punto \(P\) situado en el eje de abscisas y exterior a la misma, se trazan las tengentes a la circunferencia. Hallar las coordenadas de \(P\) de manera que el triángulo que forman los dos puntos de tangencia con el origen de coordenadas tenga área máxima.

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Castilla-La Mancha. Albacete 2015-P3

En el triángulo acutángulo \(\def\lon#1{\left\vert{#1}\right\vert}\)\(\triangle{ABC},\) \({AH},\) \({AD}\) y \({AM}\) son, respectivamente, la altura, la bisectriz y la mediana que parten desde \(A,\) estando \(H,\) \(D\) y \(M\) en el lado \({BC}.\) Si las longitudes \(\lon{AB},\) \(\lon{AC}\) y \(\lon{MD}\) son, respectivamente, \(11,\) \(8\) y \(1,\) calcula la longitud del segmento \(DH.\)

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Castilla-La Mancha. Albacete 2015-P1

Sea la región \(\mathcal R\)\(\require{AMSmath}\require{AMSsymbols}\DeclareMathOperator{\sin}{sen}\DeclareMathOperator{\tan}{tg}\def\D{\,\mathrm{d}}\) del plano definida por la parte positiva de los ejes de coordenadas y la curva $$y = 2 \cos x \qquad 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}.$$ Halla el valor de \(a\) tal que la curva \(y = a \sin x\) divida la región \(\mathcal R\) en dos regiones de igual área.

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