I. Baleares. Menorca 2022-B-E2

Sea \(\mathcal M_3(\mathbb R)\) el espacio vectorial de las matrices reales cuadradas de orden \(3.\)

1. Demuestra que el conjunto \(A\) de las matrices antisimétricas de orden \(3\) es un subespacio vectorial de \(\mathcal M_3(\mathbb R)\) y obtener razonadamente una base \(\mathcal B\) del subespacio \(A.\)
2. Sea \(T: A \to \mathcal P_3(\mathbb R),\) donde \(\mathcal P_3(\mathbb R)\) es el conjunto de los polinomios con coeficientes reales de grado \(3,\) definida como: \(\def\hemisim#1#2#3{\begin{pmatrix} 0 & #1 & #2 \\ -#1 & 0 & #3 \\ -#2 & -#3 & 0 \end{pmatrix}}\)$$\hemisim{a}{b}{c} \to ax+bx^2+cx^3$$ Encuentre la matriz de esta aplicación lineal asociada a la base \(\mathcal B\) de \(A\) y la base del espacio de polinomios dada por \(\{1,x,x^2,x^3\}.\) Escribir la ecuación matricial de la aplicación.
3. Determina el núcleo y la imagen de esta aplicación \(T\) y demuestra que se trata de un isomorfismo sobre el conjunto \(\text{Im }T.\)
4. Compruebe que se verifica el teorema de las dimensiones.