Sea \(\mathcal M_3(\mathbb R)\) el espacio vectorial de las matrices reales cuadradas de orden \(3.\)
- Demuestra que el conjunto \(A\) de las matrices antisimétricas de orden \(3\) es un subespacio vectorial de \(\mathcal M_3(\mathbb R)\) y obtener razonadamente una base \(\mathcal B\) del subespacio \(A.\)
- Sea \(T: A \to \mathcal P_3(\mathbb R),\) donde \(\mathcal P_3(\mathbb R)\) es el conjunto de los polinomios con coeficientes reales de grado \(3,\) definida como: \(\def\hemisim#1#2#3{\begin{pmatrix} 0 & #1 & #2 \\ -#1 & 0 & #3 \\ -#2 & -#3 & 0 \end{pmatrix}}\)$$\hemisim{a}{b}{c} \to ax+bx^2+cx^3$$ Encuentre la matriz de esta aplicación lineal asociada a la base \(\mathcal B\) de \(A\) y la base del espacio de polinomios dada por \(\{1,x,x^2,x^3\}.\) Escribir la ecuación matricial de la aplicación.
- Determina el núcleo y la imagen de esta aplicación \(T\) y demuestra que se trata de un isomorfismo sobre el conjunto \(\text{Im }T.\)
- Compruebe que se verifica el teorema de las dimensiones.