Madrid 2025-P2

Responder de forma razonada a las siguientes dos cuestiones:

1. Justificar si son correctas o no las siguientes afirmaciones sobre el conjunto \(C=\{(x,y) \in \mathbb R^2:0 \lt x \lt 1\}\) de \(\mathbb R^2\)
   1. Es conexo y abierto.
   2. Es conexo y compacto.
   3. Es compacto y abierto.
2. Demostrar que toda matriz compleja cuadrada de orden \(2\) es semejante a una matriz de una de las tres formas siguientes: \((\lambda, \mu \in \mathbb C)\) \[\pmatrix {\lambda & 0 \\ 0 & \mu },\quad \pmatrix {\lambda & 0 \\ 0 & \lambda }, \quad \pmatrix {\lambda & 0 \\ 1 & \lambda } \]