Madrid 2000-P3

Sean \(\mathcal B_1 = \{1,x,x^2,\dots,x^n\}\) y \(\mathcal B_2 = \{1,x-a,(x-a)^2,\dots,(x-a)^n\}\) dos bases del espacio vectorial de los polinomios reales de grado \(n.\) Se pide:

1. Calcúlese la matriz del cambio de base de \(\mathcal B_1\) a \(\mathcal B_2.\)
2. Utilícese el resultado anterior para probar la fórmula de Taylor: \[p(x)=p(a)+p'(a)(x-a)+\frac{1}{2!}p^{\prime\prime}(a) (x-a)^2+\dots+\frac{1}{n!}p^{(n)}(a) (x-a)^n\]