I. Baleares. Menorca 2026-B-P1

Consideramos el siguiente límite: \[\lim_{x\to+\infty} \left[\frac{3-x}{2-x}\right]^{mx}=\E^{-1}\]

1. Identifica la indeterminación del límite y justifica por qué no se puede resolver directamente.
2. Calcula el límite en función de \(m\), aplicando la técnica adecuada para indeterminaciones de la forma \(1^{\infty}.\) Determina el valor de \(m\) que hace cierta la igualdad.
3. Con el valor de \(m\) encontrado, estudia la función \(g(x)= \left[\frac{3-x}{2-x}\right]^{mx}.\) Calcula \(g'(x)\) y determina si \(g\) es creciente o decreciente para \(x\) lo suficientemente grande.
4. Generaliza el problema: encuentra todos los valores de \(m\) y \(n\) enteros positivos tales que: \[\lim_{x\to+\infty} \left[\frac{n-x}{(n-1)-x}\right]^{mx}=\E^{-3}.\]