I. Baleares. Menorca 2021-E2-P5

Sea \(x\) un número real.

1. Prueba que \(1 + x + x^2 + \dots + x^{n -1} = \displaystyle\frac{1 -x^n}{1 -x}\) para cualquier \(n\) natural, deduce que \( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \displaystyle\frac{1}{1 -x}\) y determina el radio de convergencia de la identidad anterior.
2. Desarrolla en serie de potencias la función \(f(x) = \displaystyle\frac{3}{2 + 5x^2},\) y determina su radio de convergencia.
3. Calcula \(f^{(n)}(0)\).
4. Plantea un problema contextualizado, con diferentes apartados, a partir de la identidad del punto a). Resuelve el problema de manera detallada, señalando los conocimientos previos necesarios.