I. Baleares. Mallorca 2025-B-P3

Se considera la función \(f(x)=\displaystyle\frac{x^3}{(1+x^2)^2}\).
Se define la función \(F(x)=\displaystyle\int_0^{\sqrt{x^2+1}} f(t) \D t\).

1. Prueba que \(F(x)\) es una función par y deduce que su derivada cumple \(F^{\,\prime}(0)=0\).
2. Calcula \(F(0)=\int_0^1 f(t) \D t.\)
3. Calcula \(F^{\,\prime}(x).\)
4. Comprueba que \(\lim_{x\to{+\infty}} F^{\,\prime}(x)=0\) y calcula el límite \(\lim_{x\to{+\infty}} F(x).\)