I. Baleares. Mallorca 2025-A-P4

Se considera el cuerpo conmutativo \(\mathbb Z/(5)\) con coeficientes en \(\mathbb Z/(5).\) Sea el conjunto de las matrices cuadradas \((2 \times 2)\) \[\mathcal M=\left \lbrace\pmatrix { a & b \\ c & d }: a,b,c,d \in \mathbb Z/(5) \right \rbrace.\]

1. ¿Cuántas matrices simétricas tiene el conjunto anterior?
2. Dada la matriz \(A= \pmatrix { 1 & 2 \\ 3 & 4 } \in \mathcal M\) calcula, si existe, su matriz inversa.
3. Comprueba que se cumple \(A^2-2I = 0\) y deduce la expresión de \(A^n\) para todo \(n\) natural.
4. Utilizando el apartado anterior, determina el vector \[\pmatrix { 1 & 2 \\ 3 & 4 }^{99}\pmatrix { 1 \\ 0 }.\]