I. Baleares. Ibiza 2022-A-E3

Sea \(\mathcal P_2(x)\) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que \(2.\)

1. Calcula \(a,b,c\) para que el siguiente polinomio pertenezca a \(\mathcal P_2(x).\) $$p(x) = \frac{x^3+ax^2+bx+c}{x-1} + \frac{x^3+bx^2+cx+a}{x+1}+\frac{x^3+cx^2+ax+b}{x-2}$$
2. Demuestra que \(\mathcal B = \{ x^2+x+1, x^2-1,p(x) \}\) es una base de \(\mathcal P_2(x).\)
3. Calcula las coordenadas de \(q(x) = 2x^2+3x\) en esta base.