Sea \(P_3(x)\) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que \(3\) con coeficientes reales. Sea \(f : P_3(x) \rightarrow P_3(x)\) definida por $$f \big ( p(x) \big ) = \beta p(x) + p'(x), \quad \beta \in \mathbb R$$ a) Probar que \(f\) es una aplicación lineal.
b) Hallar su núcleo, su imagen y clasificar \(f\) según los valores de \(\beta\).
c) Suponiendo \(\beta = 1,\) hallar la matriz asociada a \(f\) cuando se considera en \(P(x)\) la base \(\mathcal B = \lbrace 2, x + 1, x^2 -1, x^3 + 1 \rbrace\) tanto en el espacio inicial como en el final.