Extremadura 2015-P1

Sea \(\mathcal M_C\) el conjunto de todas las matrices \(2 \times 2\) de la forma: $$M(a, b) = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, \quad (a, b \in \mathbb R).$$

1. Demuestre que \(\mathcal M_C\) tiene estructura algebraica de cuerpo conmutativo con las operaciones usuales de suma y producto de matrices.
2. Demuestre que \(\mathcal M_C\) es isomorfo al cuerpo \(\mathbb C\) de los números complejos, hallando el isomorfismo \(f : \mathbb C \to \mathcal M_C\) correspondiente.
3. Utilizando el isomorfismo definido en b., calcule \(\require{AMSmath}\) $$\small {4} \kern-0.3em \sqrt{ \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt 3}{2} \\ \dfrac{\sqrt 3}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} }$$