Com. Valenciana 2016-P1

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. Sea \(\mathcal C\) una circunferencia y \(P\) un punto del plano euclídeo exterior a la circunferencia. Sea \(s\) una recta que pasa por \(P\) y es secante con \(\mathcal C\). Si \(A\) y \(B\) son los  puntos de corte de la circunferencia con \(s,\) demuestre que el producto \(\lon{PA}\cdot \lon{PB}\) no depende de la recta secante \(s\) elegida.
2. En un terreno llano se ha construido un estanque de planta circular en el que la superficie libre de agua enrasa con el terreno. El estanque está centrado en el punto \(C(43, 31)\) y su radio es de \(30 \text{ m}.\) Un pato, situado inicialmente en el punto \(P(3, 1),\) marcha en línea recta y con velocidades uniformes de \(0{,}32\text{ m/s}\) y \(0{,}96\text{ m/s},\) sobre tierra y nadando, respectivamente, con el fin de llegar a la orilla opuesta. Determine la dirección que debe tomar el pato para que la duración del  recorrido sea la mínima posible y calcule el tiempo correspondiente.

Nota. La dirección del pato debe ser expresada en función de una razón trigonométrica.