Com. Valenciana 2015-P1

Sean \(f\) y \(g\) dos endomorfismos del espacio vectorial \(\mathbb R^3\) definidos para todo \((x, y, z) \in \mathbb R^3\) como sigue: \[f(x, y, z) = (x+y, 2x−z, 2y+z), \quad g(x, y, z) = (x, y, 0).\]

1. Halle una base, unas ecuaciones y la dimensión del núcleo de \(f\) y del núcleo de \(g.\)
2. Halle una base, unas ecuaciones y la dimensión de la imagen de \(f\) y de la imagen de \(g.\)
3. Determine las matrices asociadas a los endomorfismos \(f\), \(g\), \(f \circ g\) y \(g \circ f\) en la base canónica de \(\mathbb R^3.\)