Cataluña 2018-P1

a) De un conjunto \(\mathcal C\) de \(N\) bolas \(\require{AMSsymbols}\require{AMSmath}(N \geqslant 3),\) consideramos un subconjunto \(\mathcal S\) de \(k\) bolas \((k \leqslant N).\) Encuentra una expresión matemática para la probabilidad \(P_k\) de que en dos extracciones consecutivas al azar, sin reposición, de bolas del conjunto \(\mathcal C,\) al menos una de las bolas pertenezca al conjunto \(\mathcal S.\) Comprueba que en el caso particular \(k=N,\) entonces \(P_N=1\) (evento seguro) y calcula la probabilidad para \(k=N-1.\)

b) Se escogen dos puntos sobre la circunferencia de un círculo de manera aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuerda dibujada entre estos dos puntos sea más grande que el radio del círculo?