Cantabria 2016-P4

Se da la circunferencia \(\mathcal C : x^2+y^2−2ax=0\) y la recta \(r : x=2a,\) siendo \(a \gt 0.\) Una recta variable \(s\) que pasa por el origen \(O(0, 0)\) corta a la circunferencia \(\mathcal C\) en un punto \(A\) distinto de \(O\) y a la recta \(r\) en un punto \(B.\)

1. Halle la ecuación cartesiana del lugar geométrico \(\mathcal P\) de los puntos \(P \in s\) tales que \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{AB},\) al variar \(s.\)
2. Estudie y represente la curva cuya ecuación es la obtenida en a).
3. Si dicha curva girase alrededor de su asíntota, indique cómo se obtendría la expresión del volumen limitado por la superficie engendrada (no es preciso calcularlo).