Cantabria 2016-P1

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones

1. Dadas las matrices: \[A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B=I+A, \]y un número entero positivo \(n,\)  calcule \(A^n\) y demuestre que la inversa de \(B\) es la matriz \(I−A+A^2,\) donde \(I\) es matriz identidad de orden \(4.\)
2. Sea \(P\) un polinomio de grado \(n \ge 1\) con coeficientes reales tal que para cierto \(a \in \mathbb R\) es \(P^{(k)}(a) \gt 0\) para \(0 \le  k \le n,\) donde  entendemos \(P^{(0)} = P.\) Demuestre que \(a\) acota superiormente a todas las raíces reales de \(P.\)