Asturias 2016-P3

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. Dado un triángulo rectángulo de catetos \(a\) y \(b\) e hipotenusa \(c\), expresa la longitud del radio \(r\) de la circunferencia inscrita en el triángulo en función de \(a\), \(b\) y \(c\).
2. Un cuadrado de papel \(ABCD\) se dobla según el segmento \(PQ,\) donde \(P\) es un punto del lado \(AB\) y \(Q\) es un punto del lado \(CD\), hasta que el vértice \(A\) coincide con un punto \(R\) del lado \(BC\), formándose así tres triángulos rectángulos \(PBR\), \(RCS\) y \(QTS\) de un sola capa de papel. Demuestre que el cateto \(ST\) del triángulo \(QTS\) mide lo mismo que el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo \(RCS.\)