• 4 • Problema de la puntualidad [3]. Un joven y una señorita se han citado entre \(6\) y \(7\) de la tarde para reunirse en un lugar, conviniendo en no esperarse más que \(10\) minutos. Calcular la probabilidad de que se encuentren, suponiendo que lleguen al azar e independientemente entre las \(6\) y las \(7.\)
Es aconsejable leer primero este artículo de introducción .
Vamos a medir la hora de llegada por los minutos pasados después de las seis. La llegada de ambos ha de estar entre \(0\) y \(60\) minutos. Si llamamos \(x\) al minuto de llegada del joven e \(y\) al minuto de llegada de la señorita, tienen que ser \(\require{AMSsymbols}0 \leqslant x \leqslant 60,\) \(0 \leqslant y \leqslant 60.\) Si representamos el par \((x,y)\) en unos ejes de coordenadas, el conjunto de llegadas posibles es el cuadrado de lado \(60.\) Para que los dos se vean en la cita, la diferencia entre el minuto \(x\) de llegada del joven y el minuto \(y\) de llegada de la señorita ha de ser \(0 \leqslant x -y \leqslant 10,\) si el joven llegó antes, o puede ser \(0 \leqslant y -x \leqslant 10,\) si lo hizo la señorita. Esto puede expresarse brevemente como \(|x -y| \leqslant 10,\) aunque no es necesario hacerlo así. Las llegadas con encuentro están sobre la franja azul de la figura, limitada por las líneas \(y = x+10,\) \(y = x -10,\)
La probabilidad de que se encuentren se puede calcular como el cociente del área de la región azul (medida de lo que es favorable) entre el área del cuadrado (medida de lo que es posible), $$\eqalign { \frac{A_{franja}}{A_{cuadrado}} & = \frac{(60)^2 -2\frac{1}{2}(50)^2}{(60)^2} \\ &= 1 -\frac{2\frac{1}{2}(50)^2}{(60)^2} \\ &= \frac{11}{36} \approx 0{,}3056. }$$ Si observa, en la segunda línea, la fracción que aparece es la probabilidad de que no se encuentren.
[3] El enunciado ha sido extraído del libro escrito por Sixto Ríos, Métodos Estadísticos, 6.ª ed., Madrid, Ediciones del Castillo, S. A., 1967, pág. 155.