¿A cuánto cabe? Esta es la pregunta que a muchos, a mí incluido, impidió hacer repartos parciales equitativos, como lo habría hecho en una situación real, ensayando: «De momento repartimos algo y luego vemos si nos toca a más.» Aunque lo peor no era la pregunta, lo peor era que no se admitía esta aproximación a la solución. No recuerdo si me preguntaron ¿cuántas cifras tendrá el cociente?, pero dudo mucho que lo hicieran dado el interés porque acertase con el «único cociente» permitido. \(\require{AMSmath}\def\threesticks{\boxed {|\,|\,|} \;}\def\foursticks{\boxed {|\,|\,|\,|} \;}\def\bftomato#1{\color{tomato}{\bf #1}}\)Aunque os quede muy lejos la Primaria ¿alguien confesaría el olvido de la división de números? Si nos hubieran enseñado a hacer repartos parciales, no la habríamos olvidado.
Se hace la distinción entre división por reparto y por agrupamiento. Cuando la división es exacta no hay diferencia entre los dos planteamientos: \(28\) cerillas repartidas en \(4\) cajas o colocadas en grupos de \(7\) dan la misma división. Cuando la división es inexacta, hay resto. Entonces, para repartir \(23\) cerillas en \(6\) cajas hemos de colocar \(3\) cerillas en cada caja y \(5\) quedan fuera. $$23 = 6 \times 3 + 5: \threesticks \threesticks \threesticks \threesticks \threesticks \threesticks |\,|\,|\,|\,|\, $$ Pero para agrupar \(3\) cerillas por caja necesitamos una caja más. Con esas \(5 (= 3 + 2)\) del resto podemos preparar una caja más con tres cerillas: \(7\) cajas y \(2\) cerillas quedan fuera.$$23 = 3 \times 7 + 2: \threesticks \threesticks \threesticks \threesticks \threesticks \threesticks \threesticks |\,|\,$$ Sin embargo, repartir \(23\) cerillas en \(5\) cajas o hacer con ellas grupos de \(4\) cerillas nos da la misma división. $$23 = 5 \times 4 + 3: \foursticks \foursticks \foursticks \foursticks \foursticks |\,|\,|\,$$ En cualquier caso, reparto o agrupamiento, el problema se reduce a realizar una división.
Un reparto parcial
Abordar el problema de la división mediante repartos parciales es también una estrategia que posiblemente se nos ocultó. Intento dividir \(624\) entre \(7\). Primero veo que el dividendo \(624\) está comprendido entre \(7 \times 10\) y \(7 \times 100\), luego el cociente estará comprendido entre \(10\) y \(100\). Tendrá \(2\) cifras. Voy a hacer repartos con múltiplos de \(10\) de manera que solo tenga que multiplicar por una cifra. (Sigue mis cálculos en la ‘Versión libre’ más abajo.) Así, he comenzado con un cociente de \(50\) unidades y han quedado sin repartir \(274\) (resto o residuo parcial). ¿Puedo repartir con \(10\) o con \(20\)? Sí (no reparto lo que no tengo), pues lo hago sin preocuparme de más. Pero llega un momento, después del tercer reparto, en que no puedo repartir más decenas. Tengo que ensayar con cantidades menores que \(10\). En cada reparto obtengo un resto parcial cada vez más pequeño. Esto acaba cuando queda un resto menor que el divisor. Si quiero ser equitativo, no hay nada más para repartir. En total he repartido $${\bf 50} \times 7 + {\bf 20} \times 7 + {\bf 10} \times 7 + {\bf 6} \times 7 + {\bf 3} \times 7 = {\bf 89} \times 7$$ y me ha sobrado \(1\). La división es \(624 = 7 \times 89 + 1\).
Nota aclaratoria: Se ha elegido una disposición de los elementos de la división que mejora la comprensión del proceso $$ \small \begin{array}{r|ll} & \bf \color{tomato}{\text{divisor}} & \\ \hline \bftomato {\text{dividendo}} & \text{cociente parcial} \\ \vdots \qquad \\ \end{array}$$ Sería buena idea romper con la disposición «usual» para adoptar ésta que, como se verá a continuación, ayuda a comprender el proceso de construcción del cociente final.
No hay duda de que podemos mejorar la búsqueda del cociente (‘Versión larga’ —más adelante se entenderá el porqué de este calificativo). Seguimos con el tratamiento global del dividendo, comprobamos que está comprendido entre \(7 \times 80\) y \(7 \times 90\), por tanto optamos por \(80\) unidades para el cociente: \(8\) será el número de decenas del cociente y con esto tenemos repartidas todas las decenas posibles. Las \(64\) unidades que restan dan lugar a otras \(9\) unidades para el cociente.
Hagamos una pequeña pausa en nuestro progreso. En cualquiera de las dos versiones (libre o larga) ¿cómo expresaríamos la división si nos detenemos tras el primer reparto?
Parece claro, al tratar globalmente el dividendo estamos viendo completamente cada resto parcial y el cociente como suma de repartos. Todos los números están ahí, pero cuando vayamos al algoritmo «usual» no será tan inmediato «congelar» la división. Probemos a «congelar» la división \(6248\) entre \(14\) tras el segundo reparto.
Parece que una división llevada a cabo por su versión larga puede ser un buen acercamiento a la división usual que trabaja sobre las unidades de cada orden del dividendo.
División atendiendo al valor posicional
Cuando el divisor tiene varias cifras el procedimiento que hemos seguido hasta ahora puede resultar complicado de aplicar pues necesitamos manejar una tabla de múltiplos del divisor. La regla que se ha convertido en universal ha sido consecuencia de muchos años (siglos) de uso y depuración. Consiste en hacer divisiones según el valor posicional de los dígitos, dividiendo desde los dígitos de mayor orden hasta las unidades y utilizando cocientes parciales de una sola cifra que permitan realizar operaciones con rapidez.
Regla para dividir que ahora llamamos
«Algoritmo de la división»
En esencia el algoritmo es consecuencia de elegir una representación adecuada del dividendo mostrando el valor posicional de cada dígito. $$\small{\begin{array}{r|l} & \color{tomato} {7} \\ \hline \color{LightSeaGreen}{6_{dm}}\color{blue}{\;2_{um}}\color{brown}{\;4_c}\color{green}{\;3_d}\;1_u \\ \hdashline \color{blue}{62_{um}} \phantom{\color{brown}{\;4_c}\color{green}{\;3_d}\;1_u} & \color{blue}{8_{um}}\\ \color{blue}{-56_{um}} \phantom{\;4_c\;3_d\;1_u} & \\ \hline \color{blue}{6_{um}}\color{brown}{\;4_c} \phantom{\color{green}{\;3_d}\;1_u} \\ \hdashline \color{brown}{\;64_c}\phantom{\color{green}{\;3_d}\;1_u} & \color{brown}{\;9_c} \\ \color{brown}{\;-63_c}\phantom{\;3_d\;1_u} \\ \hline \color{brown}{\;1_c}\color{green}{\;3_d} \phantom{\;1_u} \\ \hdashline \color{green}{\;13_d} \phantom{\;1_u} & \color{green}{\;1_d}\\ \color{green}{\;-7_d}\phantom{\;1_u} \\ \hline \color{green}{\;6_d}\;1_u \\ \hdashline 61_u & 8_u \\ -56_u \\ \hline 5_u\end{array} \\ \; \\ \color{blue}{8_{um}} \color{brown}{\;\;9_c} \color{green}{\;\;1_d} \;\; 8_u = 8918_u}$$
Recorremos el algoritmo con la división de \(62431\) entre \(7\). El cociente tendrá cuatro cifras que iremos llenando desde los millares hasta las unidades. $$\begin{aligned} & 7 \times 1000 & \text{es menor que 62431,} \\ & 7 \times 10000 & \text{es mayor.}\end{aligned}$$
Separamos el grupo formado por las dos primeras cifras del dividendo: \(62\) millares del dividendo entre \(7\) son \(8\) millares para el cociente y sobran \(6\) millares. $$\bbox[Lavender,10px] {\small{\begin{array}{r|r} & \color{tomato} {7} \\ \hline \color{blue}{62}\color{brown}{\;4}\color{green}{\;3}\;1 & \boxed{\color{blue}{8}}\;\boxed{\phantom{9}}\;\boxed{\phantom{1}}\;\boxed{\phantom{8}} \\ \color{blue}{-56}\phantom{\;4\;3\;1} & \\ \hline \color{blue}{6} \phantom{\;4\;3\;1}\end{array}}}$$
Como no es suficiente para dividir entre el divisor los sumamos como \(60\) centenas a las \(4\) centenas del dividendo. Dividimos, ahora estas \(64\) centenas entre \(7\) obteniendo \(9\) centenas para el cociente y un resto de una centena. $$\bbox[Lavender,10px] {\small{\begin{array}{r|r} & \color{tomato} {7} \\ \hline \color{blue}{62}\color{brown}{\;4}\color{green}{\;3}\;1 & \boxed{\color{blue}{8}}\;\boxed{\color{brown}{9}}\;\boxed{\phantom{1}}\;\boxed{\phantom{8}} \\ \color{blue}{-56}\phantom{\;4\;3\;1} & \\ \hline \color{brown}{6\;4}\phantom{\;3\;1} \\ \color{brown}{-6\;3}\phantom{\;3\;1} & \\ \hline \color{brown}{1}\phantom{\;3\;1}\\\end{array}}}$$
Este resto son \(10\) decenas, más \(3\) decenas del dividendo hacen \(13\) decenas que entre \(7\) es una decena para el cociente y \(6\) decenas para el resto. $$\bbox[Lavender,10px] {\small { \begin{array}{r|r} & \color{tomato} {7} \\ \hline \color{blue}{62}\color{brown}{\;4}\color{green}{\;3}\;1 & \boxed{\color{blue}{8}}\;\boxed{\color{brown}{9}}\;\boxed{\color{green}{1}}\;\boxed{\phantom{8}} \\ \color{blue}{-56}\phantom{\;4\;3\;1} & \\ \hline \color{brown}{6\;4}\phantom{\;3\;1} \\ \color{brown}{-6\;3}\phantom{\;3\;1} & \\ \hline \color{green}{1\;3}\phantom{\;1}\\ \color{green}{-7}\phantom{\;1} \\ \hline \color{green} 6 \phantom{\;1} \end{array} }}$$
Éstas son \(60\) unidades que sumadas a la que queda en el dividendo hacen \(61\). Éstas entre \(7\) son \(8\) unidades para el cociente y restan \(5\) unidades. No hay más cifras en el dividendo; la división ha concluido. $$\bbox[Lavender,10px] {\small{ \begin{array}{r|r} & \color{tomato} {7} \\ \hline \color{blue}{62}\color{brown}{\;4}\color{green}{\;3}\;1 & \boxed{\color{blue}{8}}\;\boxed{\color{brown}{9}}\;\boxed{\color{green}{1}}\;\boxed{\color{black}{8}} \\ \color{blue}{-56}\phantom{\;4\;3\;1} & \\ \hline \color{brown}{6\;4}\phantom{\;3\;1} \\ \color{brown}{-6\;3}\phantom{\;3\;1} & \\ \hline \color{green}{1\;3}\phantom{\;1}\\ \color{green}{-7}\phantom{\;1} \\ \hline 6\;1 \\ -5\;6 \\ \hline 5 \end{array} }}$$
En cada división se trata de encontrar el mayor múltiplo del divisor que no supera al grupo. La expresión «bajar una cifra» \( \bar a\) del orden siguiente para formar el nuevo grupo es la simplificación de «expresar el resto como unidades del orden inferior, multiplicándolo por \(10\), y sumar la cifra \( \bar a\)»:
$$\boxed{\phantom{XX}} \times 10 + \bar a = \boxed{\phantom{XX}}0 + \bar a = \boxed {\phantom{XX}} \bar a$$
La disposición de los cálculos mostrada hasta ahora se denomina «Variante larga» de la división, ya que presenta las restas en cada división parcial. Si hacemos las restas de memoria, lo que reduce notablemente la extensión del cálculo, la disposición se llama «Variante corta» de la división. En fin, es el aspecto de la división «usual» donde todo queda oculto, como si fuese el legado de una secta hermética que ha dejado atrás todas las estrategias que han ido discurriendo a lo largo de este artículo. Se debería huir de ella en los primeros encuentros con el algoritmo aritmético.
$$\small{\begin{array}{r|l} & \color{tomato} {7} \\ \hline \color{blue}{62}\color{brown}{\;4}\color{green}{\;3}\;1 & \boxed{\color{blue}{8}}\;\boxed{\color{brown}{9}}\;\boxed{\color{green}{1}}\;\boxed{\color{black}{8}} \\ \color{brown}{6\;4}\phantom{\;3\;1} \\ \color{green}{1\;3}\phantom{\;1}\\ 6\;1 \\ 5 \end{array}}$$
Aplica el algoritmo a las divisiones siguientes (difíciles).