Hemos ido a tres supermercados recopilando los precios en euros \(\left ( € \right )\) de diversos alimentos que irán a nuestra cesta de la compra. El primer paso para representar los datos matricialmente es organizarlos en una tabla como la siguiente.
$$\small {\begin{array} {l|c|c|c|c|} & \array {{\bf Pl \acute a tano} \\ (1\,kg)} & \array {{\bf Lechuga} \\ (unidad)} & \array {{\bf Naranja} \\ (bolsa)} & \array {{\bf Aguacate} \\ (unidad)} \\[1.2ex] \hline {\bf Bona} & \fbox {1,65} & 1{,}26 & 5{,}27 & \fbox {1,16} \\[1.2ex] \hline {\bf FrutiFru} & 4{,}25 & 1{,}95 & \fbox {4,35} & 2{,}09 \\[1.2ex] \hline {\bf EcoHort} & 2{,}10 & \fbox {1,10} & 6{,}25 & 1{,}80 \\[1.2ex] \hline {\bf DMinor} & \vphantom {\fbox {0,63}} & & & \\[1.2ex] \hline\end{array}} $$
Una vez organizados los precios podemos prescindir de los rótulos de filas y columnas. Al igual que hacemos con los números que los nombramos con letras abstrayendo su valor, ahora es mucho más conveniente hacer lo mismo con las matrices ya que un único símbolo nos permitirá referirnos a una colección de números. Llamemos \(\mathbf {P}\)a nuestra matriz de precios. $$\mathbf {P} \equiv \left ( \begin{array}{r} 1{,}65 & 1{,}26 & 5{,}27 & 1{,}16 \\ 4{,}25 & 1{,}95 & 4{,}35 & 2{,}09 \\ 2{,}10 & 1{,}10 & 6{,}25 & 1{,}80 \end{array} \right ) $$
Pero es importante no olvidar el significado de filas, columnas y elementos de esta matriz: p.e. la segunda fila son los precios de los alimentos en el súper FrutiFru, la tercera columna son los precios de la naranja en cada uno de los supermercados, el elemento \(\left ( 3, 4 \right )\) nos dice que EcoHort tiene el aguacate a \(1{,}80\) €/unidad. Es decir, una fila contiene los precios que un supermercado ha fijado para cada alimento, una columna contiene los precios de venta de un alimento en cada supermercado y un elemento de dicha matriz es el precio fijado en un supermercado para un alimento.
Las cantidades que demandamos de cada producto son: \(500\; \rm g\) de plátanos, tres lechugas, dos bolsas de naranjas y cuatro aguacates. Estas cantidades han de expresarse en las unidades que se dan los precios. Las presentaremos como un vector columna, $$\mathbf {d} \equiv \left ( \begin{array}{c}0{,}5 \\ 3 \\ 2 \\ 4 \end{array} \right )$$ donde hemos organizado las unidades demandadas en la misma forma que están los alimentos en las filas de la matriz de precios.
Para calcular el importe de la compra en el súper Bona hemos de realizar el siguiente cálculo: $$\begin{align}1{,}65 \frac {€}{kg} \cdot 0{,}5 \, kg &+ 1{,}26 \frac{€}{ud} \cdot 3 \, ud \\[1.2ex] &+ 5{,}27 \frac{€}{bolsa} \cdot 2 \, bolsas \\[1.2ex] &+ 1{,}16 \frac{€}{ud} \cdot 4 \, ud \\[1.2ex] &= 18{,}535\;€ \end{align}$$
El gasto de la compra en Bona ascendería a \(18{,}535\;€\). Este cálculo puede expresarse en una forma más breve mediante el producto del vector fila de precios del súper Bona por el vector columna de demanda. $$\left ( \begin{array}{c} 1{,}65 & 1{,}26 & 5{,}27 & 1{,}16 \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} 0{,}5 \\ 3 \\ 2 \\ 4 \end{array} \right ) = 18{,}535\;€ $$
El cálculo es el mismo para los demás supermercados. En la expresión siguiente, solo hay que sustituir las cajas por los precios que aparecen en cada fila de la matriz \(\mathbf P\) \(\def\pbox{\fbox{ ? }} \def\txtazul{\bf \color{blue}} \def\fondocyan{\bbox[cyan, 5px]}\) $$\begin{align}\fondocyan \pbox \frac {€}{kg} \cdot {\txtazul {0{,}5}} \, kg &+ \fondocyan \pbox \frac{€}{ud} \cdot {\txtazul 3} \, ud \\[1.2ex] &+ \fondocyan \pbox \frac{€}{bolsa} \cdot {\txtazul 2} \, bolsas \\[1.2ex] &+ \fondocyan \pbox \frac{€}{ud} \cdot {\txtazul 4} \, ud \\[1.4ex] &= \bbox[yellow, 5px] {\ldots\ldots\vphantom{X}}\;€ \end{align}$$
Es posible reunir todos los cálculos en una sola operación representada simbólicamente por el producto \(\mathbf {P} \cdot \mathbf {d}\): $$\begin{align}\mathbf {P} \cdot \mathbf {d} &= \left ( \begin{array}{r} 1{,}65 & 1{,}26 & 5{,}27 & 1{,}16 \\ 4{,}25 & 1{,}95 & 4{,}35 & 2{,}09 \\ 2{,}10 & 1{,}10 & 6{,}25 & 1{,}80 \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c}0{,}5 \\ 3 \\ 2 \\ 4 \end{array} \right ) \\ &= \left ( \begin{array}{c}18{,}535 \\ 25{,}035 \\ 24{,}05 \end{array} \right ) \end{align}$$
Observe que el elemento \(\left ( 1,1 \right )\) del vector gasto se obtiene operando con la fila \(1\) de la matriz \(\mathbf {P} \) y la columna \(1\) de la matriz \( \mathbf {d}\), el elemento \(\left ( 2,1 \right )\) se obtiene operando con la fila \(2\) de la matriz \(\mathbf {P} \) y la columna \(1\) de la matriz \( \mathbf {d}\) y el elemento \(\left ( 3,1 \right )\) se obtiene operando con la fila \(3\) de la matriz \(\mathbf {P} \) y la columna \(1\) de la matriz \( \mathbf {d}\).
Si hiciéramos una segunda compra de \(1 \; \rm kg\) de plátanos, \(3\) bolsas de naranjas y \(5\) aguacates, podríamos, incluso, ampliar la matriz de demandas con el nuevo vector columna: $$\mathbf {D} \equiv \left ( \begin{array}{c c}0{,}5 & 1 \\ 3 & 0 \\ 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} \right )$$ con la que el cálculo del importe de las dos compras se obtendría así: $$\begin{align} \mathbf {P} \cdot \mathbf {D} &= \left ( \begin{array}{r} 1{,}65 & 1{,}26 & 5{,}27 & 1{,}16 \\ 4{,}25 & 1{,}95 & 4{,}35 & 2{,}09 \\ \fondocyan {2{,}10} & \fondocyan {1{,}10} & \fondocyan{6{,}25} & \fondocyan{1{,}80} \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c c}0{,}5 & \txtazul 1 \\ 3 & \txtazul 0 \\ 2 & \txtazul 3 \\ 4 & \txtazul 5 \end{array} \right ) \\ &= \left ( \begin{array}{c c}18{,}535 & 23{,}26 \\ 25{,}035 & 27{,}75 \\ 24{,}05 & \bbox[yellow, 5px] {29{,}85} \end{array} \right ) \end{align}$$
De nuevo, observe de dónde proviene cada elemento del resultado: p.e. el elemento \(\left ( 3,2 \right )\) del resultado se obtiene operando la fila \(3\) de la matriz \(\mathbf {P} \) y la columna \(2\) de la matriz \(\mathbf {D}\).
Una fila de esta última matriz representa lo que un supermercado ha ingresado por cada compra. ¿Podríamos saber el total ingresado por cada supermercado? Consideremos el vector columna $$\mathbf {u} \equiv \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right )$$ y el producto siguiente da el ingreso del supermercado Bona: $$\begin{align} \left ( \begin{array}{c c}18{,}535 & 23{,}26 \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right ) &= 18{,}535 \cdot 1 + 23{,}26 \cdot 1 \\ &= 41{,}795 \end{align}$$
Ampliando este cálculo para el resto de supermercados, $$\begin{aligned} \left ( \begin{array}{c c}18{,}535 & 23{,}26 \\ 25{,}035 & 27{,}75 \\ 24{,}05 & 29{,}85 \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right ) &=\left ( \begin{array}{c}18{,}535 \cdot 1 + 23{,}26 \cdot 1 \\ 25{,}035 \cdot 1 + 27{,}75 \cdot 1 \\ 24{,}05 \cdot 1 + 29{,}85 \cdot 1 \end{array} \right ) \\[1.4ex] &= \left ( \begin{array}{c}41{,}795 \\ 52{,}785 \\ 53{,}90 \end{array} \right ) \end{aligned}$$
Así, en Bona gastamos \(41{,}795\,€\), en FrutiFru, \(52{,}785\,€\) y en EcoHort, \(53{,}90\,€\).
Retos
\(\left [ 1 \right ] \) Si revisa los cálculos realizados hasta ahora, estos importes se han obtenido con el producto matricial: $$\left ( \mathbf P \cdot \mathbf D \right ) \cdot \mathbf u$$
¿Puede calcular estos importes de otra forma? ¿Qué significado tienen las matrices intermedias del producto \(\quad \mathbf P \cdot \left ( \mathbf D \cdot \mathbf u \right )\)?
\(\left [ 2 \right ] \) Quizá se haya preguntado por qué en la tabla inicial faltaban los precios del supermercado DMinor. Éste es el supermercado que oferta cada producto con el precio más bajo de los otros tres. Complete sus precios y compruebe cuánto más barato resulta realizar la compra en él. Amplíe la matriz de precios con esta nueva fila.
\(\left [ 3 \right ] \) ¿Cómo hemos de expresar matricialmente los cálculos si la matriz de precios tiene por filas los productos y por columnas los supermercados? Es decir, la matriz de precios que hemos de utilizar será ahora $$\mathbf Q \equiv \left ( \begin{array} {c c c} 1{,}65 & 4{,}25 & 2{,}10 \\ 1{,}26 & 1{,}95 & 1{,}10 \\ 5{,}27 & 4{,}35 & 6{,}25 \\ 1{,}16 & 2{,}09 & 1{,}80 \end{array} \right )$$
Una pista para empezar: el vector fila con la compra de alimentos es $$\mathbf {e} \equiv \left ( \begin{array}{c}0{,}5 & 3 & 2 & 4 \end{array} \right )$$ ¿Qué significado tiene el producto \( \bf e \cdot Q\) (vector fila \(\mathbf {e} \) por las columnas de la matriz \(\mathbf Q\))