En otros artículos hay numerosos ejemplos en los que se pueden ver uso y aplicaciones de estas operaciones y comprobar las reglas que se deben observar para operar correctamente. En este artículo se reúnen las propiedades de las operaciones suma y producto entre matrices y el producto por un número. \(\def\matrixset#1#2{{\mathcal M}_{#1 \times #2}} \def\sqmatrix#1{{\mathcal M}_{#1}} \def\ordinal#1{#1{-}\text{$\rm\acute e$sima}} \def\inv#1{{\bf #1}^{-1}} \def\trasp#1{{\bf #1}^T}\)
Simbolizamos con \(\matrixset{m}{n}\) al conjunto de todas las matrices de dimensión \(m \times n\) (\(m\) filas y \(n\) columnas). Si \(\bf A\) es una matriz de ese conjunto escribiremos \({\bf A} \in \matrixset{m}{n}\). Si \(m = n\), el conjunto se denota por \(\sqmatrix{n}\) y a una matriz de ese conjunto se la denomina matriz cuadrada de orden \(n\). Una matriz del conjunto \(\matrixset{1}{n}\) se denomina matriz fila y una del conjunto \(\matrixset{m}{1}\), matriz columna. El elemento situado en la intersección de la fila \(i\) con la columna \(j\) de la matriz \({\bf A}\) se denota por \(a_{ij}\) o por \(({\bf A})_{ij}.\) Para referirnos a la matriz en su totalidad usaremos indistintamente cualquiera de las notaciones siguientes \({\bf A} \equiv \left ( (a_{ij})\right )\).
Igualdad de matrices
Aunque parezca obvio, hay que decirlo. Dos matrices \({\bf A}, {\bf B} \in \matrixset{m}{n}\) se dicen iguales si los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales: $${\bf A} = {\bf B} \stackrel{def}{\iff} a_{ij} = b_{ij} \qquad \begin{array}{l} \small {1 \leq i \leq m} \\ \small {1 \leq j \leq n} \end{array}$$
Trasposición de una matriz
Si en una matriz \({\bf A} \in \matrixset{m}{n}\) tomamos sus filas y las escribimos en columnas se obtiene una matriz de \(\matrixset{n}{m}\) que se denomina matriz traspuesta de \({\bf A}\) y se denota por \({\bf A}^T\). Es habitual representar una matriz columna por una letra minúscula, y una matriz fila como traspuesta de una matriz columna, $${\bf v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}, \qquad {\bf v}^T = \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & \ldots & v_m \end{pmatrix}$$ Una matriz y su traspuesta contienen la misma información pero organizada de distinta manera.
Suma de matrices
Dadas dos matrices \({\bf A}, {\bf B} \in \matrixset{m}{n}\), la matriz \(\bf C\) es la suma \({\bf A}+{\bf B}\) si el elemento en la posición \(\left (i,j \right )\) se obtiene como suma de los elementos que ocupan esa misma posición en \(\bf A\) y \(\bf B\). Es evidente que también \({\bf C} \in \matrixset{m}{n}\) $${\bf C}={\bf A}+{\bf B} \stackrel{def}{\iff} c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \qquad\begin{array}{l} \small {1 \leq i \leq m} \\ \small {1 \leq j \leq n} \end{array}$$
Como esta operación entre matrices es básicamente una suma de números, tiene las mismas propiedades que ésta. Es decir:
| Entre números | Entre matrices |
| Es operación interna \(\small {\bf A} + {\bf B} \in \matrixset{m}{n} \quad (1)\) |
|
| \(a+b=b+a\) | Conmutatividad \(\small {\bf A} + {\bf B} = {\bf B} + {\bf A} \quad (2)\) |
| \(a+0=a\) | Existe matriz nula. Todos sus elementos son ceros. \(\small {\bf A} + {\bf 0} = {\bf A}\quad (3)\) |
| \(a+(-a)=0\) \(a-b=a+(-b)\) | Toda matriz tiene opuesta. Elementos correspondientes opuestos. \(\small {\bf A} + ({\bf -A}) = {\bf 0} \quad (4)\) notación \(\small {\bf A} – {\bf B} = {\bf A} + ({\bf -B})\) |
| \(a+(b+c)=(a+b)+c\) | Asociatividad. \(\small {\bf A} +( {\bf B} + {\bf C})= ( {\bf A} + {\bf B} )+ {\bf C}\quad (5)\) |
Producto de matrices
Esta operación se ha construido de tal forma que se conservan la mayor parte de las propiedades del producto de números y su comportamiento con la suma. Si \({\bf A} \in \matrixset{m}{n}\) y \({\bf B} \in \matrixset{n}{p}\), entonces \({\bf A} {\bf B} \in \matrixset{m}{p}\) Se dice que la matriz \({\bf A}\) premultiplica a la matriz \({\bf B}\) o que la matriz \({\bf B}\) posmultiplica a la matriz \({\bf A}\). Este producto es posible porque las dimensiones cumplen la “regla del dominó” $$\def\mifbox{\bbox[2px,border:1px solid black]} \begin{matrix} {\bf A} \; \qquad \; {\bf B} \\ \mifbox{{\,m\,} | \bbox[yellow,5px]{n}} \quad \mifbox {\bbox[yellow,5px]{n} | {\;p\;}} \\ \mifbox{{\,m\,} | {\;p\;}} \\ {\bf A} {\bf B} \end{matrix}$$ tantas columnas en el factor izquierdo como filas en el factor derecho. La matriz producto \({\bf C} = {\bf A} {\bf B}\) tiene el elemento \(c_{ij}\) calculado como producto de la fila \(\ordinal{i}\) de \({\bf A}\) por la columna \(\ordinal{j}\) de \({\bf B}\), así $$\begin{align}c_{ij} &= \begin{pmatrix} a_{i,1} & a_{i,2} & \dotsb & a_{i,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1,j} \\ b_{2,j} \\ \vdots \\ b_{n,j}\end{pmatrix} \\[1.2ex] &= a_{i,1} b_{1,j} + a_{i,2} b_{2,j} + \dotsb + a_{i,n} b_{n,j} \\[1.2ex] &=\sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,j}\end{align}$$
Operando de esta forma, la fila \(\ordinal{i}\) del producto se obtiene multiplicando la fila \(\ordinal{i}\) de \({\bf A}\) por las \(p\) columnas de \({\bf B}\): $$\begin{pmatrix} a_{i,1} & a_{i,2} & \dotsb & a_{i,n} \end{pmatrix} {\bf B} = \begin{pmatrix} c_{i,1} & c_{i,2} & \dotsb & c_{i,p} \end{pmatrix} $$
Por otra parte, vemos que si \({\bf A} \in \matrixset{m}{n}\) y \({\bf B} \in \matrixset{n}{m}\), entonces son multiplicables en cualquier orden, pero los productos tienen distinta dimensión: \({\bf A} {\bf B} \in \sqmatrix{m}\) y \({\bf B} {\bf A} \in \sqmatrix{n}\) y, en general, no serán matrices iguales.
Siempre que los productos sean posibles, la siguiente tabla contiene las reglas para el producto de matrices.
| Entre números | Entre matrices |
| \(r s = s r\) | En general los productos \(\small {\bf A} {\bf B} \) y \(\small {\bf B} {\bf A}\) pueden no ser multiplicables o, aun siéndolo, no resultar la misma matriz. |
| \(r ( s t ) = (r s ) t\) | Asociatividad \(\small {\bf A} ( {\bf B} {\bf D} ) = ( {\bf A} {\bf B} ) {\bf D}\quad (2^ \prime)\) |
| \(r ( s + t ) = r s + r t\) | Distributividad con la suma \(\small {\bf A} ( {\bf B} + {\bf C} ) = {\bf A} {\bf B} + {\bf A} {\bf C}\quad (3^\prime)\) \(\small ( {\bf B} + {\bf C} ) {\bf D} = {\bf B} {\bf D} + {\bf C} {\bf D}\) |
Fijémonos que siempre es posible, si \({\bf A} \in \matrixset{m}{n}\)
| \(0 r = 0\) | \(\small {\bf 0}_{m} {\bf A} = {\bf A} {\bf 0}_{n} = {\bf 0}_{m \times n}\) ( matriz nula \(\small {\bf 0}_{n} \in \sqmatrix {n}\) ) |
| \(1 r = r 1 = r\) | \(\small {\bf I}_{m} {\bf A} = {\bf A} {\bf I}_{n} = {\bf A}\) (matriz identidad \(\small {\bf I}_{n} \in \sqmatrix {n}\) ) |
Pero, entre matrices de \(\sqmatrix{n}\) las cosas funcionan algo mejor con el producto. Si \({\bf A}, {\bf B} \in \sqmatrix{n}\), los productos \({\bf A} {\bf B}\) y \({\bf B} {\bf A}\) siempre son posibles pero, en general, serán matrices distintas. Añadimos a las propiedades \((2^\prime)\) y \((3^\prime)\) ya enunciadas para el producto las siguientes, válidas solo en \(\sqmatrix{n}\).
| Entre números | Entre matrices de \(\sqmatrix{n}\) |
| Es operación interna \(\small{\bf A} {\bf B} \in \sqmatrix{n}\quad (1^\prime)\) |
|
| \(0 r = 0\) | Existe matriz nula \(\small{\bf 0}{\bf A} = {\bf A} {\bf 0} = {\bf 0}\quad (4^\prime)\) |
| \(1 r = r 1 = r\) | Tiene elemento unidad \(\small{\bf I} {\bf A} = {\bf A} {\bf I} = {\bf A}\quad (5^\prime)\) |
La matriz unidad o identidad tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a \(1\) y el resto son ceros. Hay un subconjunto de \(\sqmatrix{n}\) en el que todas sus matrices tienen matriz inversa, es el conjunto de matrices regulares.
| \(\frac {1}{r} r = r \frac {1}{r} = 1\) \( r^{-1} = \frac{1}{r}\) | \(\small \inv A {\bf A} = {\bf A} \inv A = {\bf I}\) (\(\small \inv A\) es única) |
Cuando \({\bf A}\) y \({\bf B}\) son regulares en \(\sqmatrix n\), entonces también son regulares \({\bf A} {\bf B}\) y \(r {\bf A}\) y sus inversas son: $$\eqalign {\inv {\left ( {\bf A} {\bf B} \right )} &= \inv B \inv A \\ \left ( r {\bf A}\right )^{-1} &= \small{\frac {1}{r}} \; \inv A }$$
Producto de un número por una matriz
Multiplicar un número \(r\) por una matriz \(\bf A\) consiste en multiplicar todos los elementos de la matriz por \(r\). La matriz que se obtiene se denota por \(r \bf A\). Es decir: $$r {\bf A} = r \left ( (a_{ij}) \right ) = \left ( (r \, a_{ij}) \right )$$
Este producto tiene las siguientes propiedades:
| Entre números | Entre matrices |
| \(r (s t) = ( r s) t \) | Asociatividad \(\small (rs) {\bf A} = r ( s {\bf A} ) \quad (1)\) |
| \(r (s + t) = r s + r t \) | Distributividad con la suma de matrices \(\small r ({\bf A} + {\bf B}) = r {\bf A} + r {\bf B} \quad (2a)\) Distributividad con la suma de números \(\small (r + s ) {\bf A} = r {\bf A} + s {\bf A} \quad (2b)\) |
| \(\begin{align}r ( s t ) &= (r s ) t \\ &= s ( r t )\end{align}\) | \(\small \begin{align}r ( {\bf A} {\bf C} ) &= ( r {\bf A} ) {\bf C} \\ &= {\bf A} ( r {\bf C} ) \quad (3)\end{align}\) |
| \(1 r = r\) | Efecto de la unidad numérica \(\small 1 {\bf A} = {\bf A} \quad (4)\) |
Gracias a estas propiedades el trabajo con sumas de matrices es semejante al que estamos acostumbrados a realizar con números. Por ejemplo, \( -{\bf A} = (-1) \bf A\), la igualdad \({\bf A} + 2{\bf A} = 3 \bf A\) es consistente con las propiedades anteriores, ya que
$${\bf A} + 2 {\bf A} \stackrel{(4)}{=} 1 {\bf A} + 2 {\bf A} \stackrel{(2b)}{=} (1+2) {\bf A} = 3 \bf A$$
También se puede probar que:
| Entre matrices | |
| \(r s = 0 \Rightarrow r=0 \vee s=0\) | \(\small r {\bf A} = {\bf 0} \Rightarrow r=0 \vee {\bf A} = {\bf 0}\) |
| \(\small {\bf A} {\bf C} = {\bf 0} \not \Rightarrow {\bf A} = {\bf 0} \vee {\bf C} = {\bf 0}\) | |
| \(\small {\bf A} {\bf B} = {\bf A} {\bf C} \not \Rightarrow {\bf B} = {\bf C}\) |
Las operaciones y la trasposición
Siempre que las operaciones entre \({\bf A}\) y \({\bf B}\) sean posibles $$\eqalign {\left ( {\bf A} + {\bf B} \right )^T &= \trasp A + \trasp B \\ \left ( {\bf A} {\bf B} \right )^T &= \trasp B \trasp A \\ \left ( r {\bf A}\right )^T &= r \; \trasp A}$$