Los números de Fibonacci \(1,1,2,3,5,8,13,\dots\) forman una sucesión llamada sucesión de Fibonacci \(\{F_n\}\) que se define de forma recurrente como $$F_1=1, F_2=1, F_n=F_{n -1} + F_{n -2} \text{ para } n \ge 3.$$ a) Probar que dos números de Fibonacci consecutivos son primos entre sí.
b) Dada la matriz \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},\) demostrar que \(A^n = \begin{bmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n -1} ,\end{bmatrix}\) para \(n \ge 2\).
c) Comprueba que la matriz \(A\) del apartado anterior es diagonalizable y calcula la matriz \(P \in GL_2(\mathbb R)\) tal que \(P^{-1}AP = D\) donde \(D= \begin{bmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{bmatrix}\) es la matriz diagonal. Utiliza este resultado para obtener el término general de la sucesión \(\{F_n\}\) como fórmula no recurrente (llamada fórmula de Binet).
d) Deduce de los apartados b) y c) la identidad de Cassini: \(F_{n+1} F_{n -1} -F_n^2 = (-1)^n\).
(Valoración del problema \(9/40\))
Únete ahora