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La Rioja 2023-P1

En el pueblo de Samos de Grecia se está construyendo una zona de juego formada por una región \(R_1\) y en su interior otra región \(R_2.\) El juego consiste en hacer lanzamientos con los ojos vendados con dardos. Se gana la partida si cae en \(R_2\) y se pierde si cae en \(\require{AMSsymbols}\)\(R_1 \smallsetminus R_2.\) Si cae fuera de \(R_1,\) se considera lazamiento no válido, se ignora, ni se gana ni se pierde y se repite hasta que sea válido. Como el lanzamiento es a ciegas, se considera que la probabilidad de que caiga en cualquier sitio de \(R_1\) es la misma.

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Madrid 2016-P3

a) Sea \(a\) un número real positivo. Hallar la longitud de la curva $$\left ( \frac{x}{a} \right )^{2/3} + \left ( \frac{y}{a} \right )^{2/3} = 1.$$
b) Sea \(r \gt 1\) y \(f\) una función que en un entorno de cero verifica \( \left \vert f(x) \right \vert \le \vert x \vert^r.\) Hallar la derivada de \(f\) en \(x=0.\)

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Aragón 2018-E2-P3

Dadas dos circunferencias, \(\Sigma\) de centro \(O\) y radio \(R,\) y \(\Gamma,\) de centro \(C\) y radio \(R/4,\) \(\Gamma\) rueda sin deslizar por la parte interior de \(\Sigma\) (siendo tangentes interiores). Hallar el lugar geométrico de un punto fijo de \(\Gamma.\) Escribir la ecuación de la curva resultante en coordenadas cartesianas.

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