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Alicante 2009-P1

Sea \(\mathcal M_3\) el espacio vectorial de las matrices reales cuadradas de orden 3.
a) Demostrar que el conjunto \(\mathcal A\) de las matrices antisimétricas de orden 3 es un subespacio vectorial de \(\mathcal M_3\) y obtener razonadamente una base canónica de este subespacio.
b) Si \(T:\mathcal A \longrightarrow \mathcal P_3(\mathbb R)\) es la aplicación lineal definida mediante $$T\left ( \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{bmatrix}\right ) := a\,x+b\,x^2+c\,x^3.$$ Hallar la matriz de esta aplicación lineal asociada a la base canónica de \(\mathcal A\)  y a la base canónica \(\lbrace 1, x, x^2, x^3 \rbrace\) de \(\mathcal P_3(\mathbb R)\) y escribir la ecuación matricial de la aplicación lineal.
c) Hallar el núcleo y la imagen de esta aplicación lineal y demostrar que es un isomorfismo sobre el conjunto imagen \(\text{Im } T\).
d) Comprobar que se cumple el Teorema de la dimensión.

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Alicante 2009-P2

Sean dos segmentos \(AB\) y \(BC\) de igual longitud \(d\) que están articulados por el punto \(B.\) El punto \(A\) está sobre el origen de coordenadas y el punto \(C\) varía sobre el eje \(OX\) positivo. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de un  punto \(P\) situado sobre el segmento \(BC\) a una distancia \(p\) del punto \(C.\) Dibujar el lugar.

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