País Vasco 2021-P2

Sea la proposición \(p(n) \equiv 1+2+\dots+n=\frac{1}{8}(2n+1)^2\).

1. Probar que si \(p(k)\) es cierta para \(k \in \mathbb N,\) \(p(k+1)\) también es cierta.
2. Critíquese la afirmación: «de la inducción se sigue que \(p(n)\) es cierta \(\forall \, n \in \mathbb N\)».
3. Transfórmese la igualdad \(p(n)\) en una desigualdad que sea cierta \(\forall \, n \in \mathbb N\).