Dada la matriz \(T,\) con \(t_{ij} = \begin{cases} 0 & \text{si } i=j \\ 1 & \text{si } i \ne j\end{cases} , \quad 1 \le i,j \le 3\).
a) Demostrar que \(\forall k \ge 1, \exists a_k, b_k \in \mathbb R\) tal que \( T^k = a_k T + b_k I_3\) (con \(I_3\) matriz identidad) y encontrar las relaciones de recurrencia de los escalares \(a_k\) y \(b_k\).
b) Calcular \(\displaystyle\lim_{k\to +\infty} \frac{a_k}{b_k}\) y \(\displaystyle\lim_{k\to +\infty} \frac{a_k}{a_{k -1}}\).