Com. Valenciana 2025-P1

Sea \(P_n\) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que \(n\), junto con el polinomio cero, con coeficientes reales. Se considera la aplicación definida por \[\eqalign { f : P_n &\longrightarrow P_{n+1} \\ P(x) &\mapsto f \big ( P(x) \big ) = \E^{x^2} \frac{\D}{\D x} \left ( \E^{-x^2}P(x) \right ) }\] donde \(\frac{\D}{\D x}\) representa la  derivada con respecto a \(x\).

1. Demostrar que la aplicación \(f\) es lineal.
2. Hallar el núcleo de \(f\).
3. Hallar la dimensión de la imagen de \(f\).
4. Determinar la matriz de la aplicación lineal \(f\) respecto de las bases canónicas.