Castilla y León 2025-T12-P1

Sea \(P_3\) el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual de \(3\) con coeficientes reales. Sea \(S_1= \{1+x, 1-x^2 \}\) y \(S_2=\{1, 1-x, x^3 \}\) dos subespacios de \(P_3\) y \(L_1\) y \(L_2\) sus sistemas generadores.

1. Hallar una base de \(L_1 \cap L_2\)
2. Sea \(f: P_3 \to P_3\) el endomorfismo dado por \(f \big ( p(x) \big ) = x\,p’(x)+k\,x^2\,p^{\,\prime\prime}(x).\) Hallar la matriz de \(f\) en la base canónica y los valores de \(k\) para los que la dimensión de \(\text{Ker}(f) \gt 1\).
3. Obtener una base de \(\text{Ker}(f)\) para los valores de \(k\) obtenidos.