El tiempo, en minutos, que un documento espera en una cola de impresión es una variable aleatoria continua, \(\zeta,\) con la siguente función de densidad: $$f(x) = \begin{cases} kx, & \text{si } 0 \lt x \lt 5 \\ k(10 -x), & \text{si } 5 \lt x \lt 10 \\ 0, & \text{en el resto.} \end{cases}$$
a) Calcular el valor de \(k\). (0,5 puntos).
b) Calcular la probabilidad de que un documento tenga que esperar menos de \(3\) minutos. (0,3 puntos).
c) Calcular la probabilidad de que un documento tenga que esperar más de \(9\) minutos. (0,3 puntos).
d) Calcular la probabilidad de que un documento tenga que esperar entre \(4\) y \(7\) minutos. (0,3 puntos).
e) Un documento lleva \(4\) minutos en la cola, ¿cuál es la probabilidad de que tenga que esperar al menos \(3\) minutos más? (0,3 puntos).
f) Un documento lleva \(6\) minutos en la cola, ¿cuál es la probabilidad de que tenga que esperar más de \(9\) minutos? (0,3 puntos).
g) Calcular el tiempo medio de espera. (0,5 puntos).
(Valoración del problema \(2{,}5/10\)).
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