C. F. Navarra 2021-P2

Dada la función de eficiencia que viene expresada por \(\def\D{\text{ d}}\require{AMSmath}\DeclareMathOperator{\tan}{tg}\DeclareMathOperator{\sin}{sen} \DeclareMathOperator{\arctan}{arctg} \) $$E(\phi) = \frac{\tan \phi \, (1 -m \cdot \tan \phi)}{m + \tan \phi} $$ con \(m \in (0,1]\) fijo:

a) Probar que $$\frac{\D E}{\D \phi} = \frac{m(1+t^2)(a_0+a_1t+a_2t^2)}{(m+t)^2}$$ donde \(t = \tan \phi\) y \(a_i\) son coeficientes a determinar que dependen de \(m.\)

b) Demostrar que $$\frac{\D E}{\D \phi} = \frac{-m \cdot \sec^2\phi \, (-\cos 2\phi + m\cdot \sin 2 \phi)}{(m \cdot \cos \phi + \sin \phi)^2}$$

c) Calcular los valores de \(\phi \in \mathbb R\) que dan la eficiencia máxima para cada \(m. \)