C. F. Navarra 2021-P1

Dada la matriz \(\require{AMSmath}\)$$A=\begin{pmatrix} a  & b & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a  \end{pmatrix},$$ demostrar que \(\forall n \ge 2\) se cumple $$A^n = \begin{pmatrix} a^n & \binom{n}{1} a^{n -1} b & \binom{n}{2} a^{n -2}b^2 \\ 0 & a^n & \binom{n}{1} a^{n -1} b \\ 0 & 0 & a^n \end{pmatrix}.$$